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Lernpfad Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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* In diesem Lernpfad erfährst du alles, was im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen wichtig ist.  
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* Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der ''Gleichung'' einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres ''Graphen'' herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines Graphen die entsprechende Funktionsgleichung ermitteln kann.
* Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der ''Gleichung'' einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres ''Graphen'' herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines Graphen die entsprechende Funktionsgleichung ermitteln kann.
* Dazu werden verschiedene ''Formen'' einer quadratischen Funktionsgleichung - die '''Scheitelpunktform''', die '''Normalform''' und die '''Linearfaktorform''' - ineinander überführt.   
* Dazu werden verschiedene ''Formen'' einer quadratischen Funktionsgleichung - die '''Scheitelpunktform''', die '''Normalform''' und die '''Linearfaktorform''' - vorgestellt und ineinander überführt.   
* Die hierfür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" werden in diesem Lernpfad vorgestellt. Dazu gehören die '''Verschiebung''' und '''Spiegelung''' von Graphen, die "'''quadratische Ergänzung'''" und die '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" - einschließlich ausführlicher Beispiele, Übungsaufgaben und Begründungen für die Formeln.  
* Außerdem werden die hierfür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" eingeführt und erklärt. Dazu gehören die '''Verschiebung''' und '''Spiegelung''' von Graphen, die "'''quadratische Ergänzung'''" und die '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" - einschließlich ausführlicher Beispiele, Übungsaufgaben und Begründungen.  
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# [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang|QF Anhang]] &nbsp; - &nbsp; Abbildungen in Großdruck und als Schwellpapiervorlagen mit Braillebeschriftung zum Download
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====Was du in diesem Lernpfad lernen kannst - und wie ====
* Im ersten Lernschritt (Kapitel "QF01 Normalparabel") geht es los mit der einfachsten quadratischen Funktion, die es gibt, nämlich <math>f(x) = x^2</math>. Wie sieht der Graph dieser Funktion, der '''Normalparabel''' genannt wird, aus? Wie entsteht er und welche charakteristischen Eigenschaften hat er? In diesem Zusammenhang wird auch das Thema "Quadratwurzeln" noch mal kurz wiederholt.
* In den folgenden Lernschritten wird untersucht, was sich am Funktions''graph'' ändert, wenn man die Funktions''gleichung'' der Funktion <math>f(x) = x^2</math> in bestimmter Weise erweitert - und umgekehrt. So kann man durch Verschiebungen und Streckungen (so genannte "'''Transformationen'''") der Normalparabel die Graphen (Parabeln) beliebiger quadratischer Funktionen erzeugen. Schließlich werden die Transformationsgleichungen noch für beliebige Funktionen und ihre Graphen verallgemeinert und begründet.
* Außerdem stellt sich heraus, dass man bestimmte Parabeleigenschaften besonders leicht erkennen kann, wenn man die Gleichung der quadratischen Funktion in eine geeignete Form ('''Scheitelpunktform''', '''Normalform''' oder '''Linearfaktorform''') umformt.
* Zu diesen verschiedenen Formen gelangt man mithilfe bestimmter rechnerischer Verfahren wie der "'''quadratischen Ergänzung'''" oder der '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" zur Lösung quadratischer Gleichungen. Diese Rechenverfahren werden in den Lernschritten ausführlich an Beispielen vorgestellt. Außerdem werden Übungsaufgaben mit Lösungen dazu angeboten. Und für diejenigen, die es genau wissen wollen, werden die Formeln auch allgemein begründet.
* In einem weiteren Lernschritt wird untersucht, wie man die '''Schnittpunkte von Parabeln und Geraden''' berechnen kann. Dabei wird insbesondere auch auf das '''Tangentenproblem''' eingegangen.
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=====Verschiedene Aufgabentypen und ihre Kennzeichnung=====
=====Verschiedene Aufgabentypen und ihre Kennzeichnung=====
; <i class="fa fa-binoculars fa-1x" aria-hidden="true"></i> &nbsp; Erkundungsaufgaben  
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* Die Abbildungen dieses Lernpfades findet man auch als PDF-Dokumente zum Download im [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang|Anhang]] sowohl im Großdruck (Arial 24) als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille). Die Braille-Dokumente können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.
* Die Abbildungen dieses Lernpfades findet man auch als PDF-Dokumente zum Download im [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang|Anhang]] sowohl im Großdruck (Arial 24) als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille). Die Braille-Dokumente können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.
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Autor: [[Benutzer:Ukalina|Ulrich Kalina]]


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Aktuelle Version vom 10. April 2026, 13:04 Uhr

Lernpfad Quadratische Funktionen
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  • In diesem Lernpfad erfährst du alles, was im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen wichtig ist.
  • Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der Gleichung einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres Graphen herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines Graphen die entsprechende Funktionsgleichung ermitteln kann.
  • Dazu werden verschiedene Formen einer quadratischen Funktionsgleichung - die Scheitelpunktform, die Normalform und die Linearfaktorform - vorgestellt und ineinander überführt.
  • Außerdem werden die hierfür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" eingeführt und erklärt. Dazu gehören die Verschiebung und Spiegelung von Graphen, die "quadratische Ergänzung" und die pq-Formel bzw. "Mitternachtsformel" - einschließlich ausführlicher Beispiele, Übungsaufgaben und Begründungen.
Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen
  1. QF01 Normalparabel   -   , Wertetabelle, Graph, Parabeleigenschaften, Quadratwurzel, Parabeltreppe
  2. QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben   -   , Nullstellen, Funktionenschar
  3. QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben   -   , Scheitelpunkt bestimmen
  4. QF04 Normalparabel strecken und spiegeln   -   , Parabelform in Abhängigkeit von a
  5. QF05 Scheitelpunktform und Normalform  -   von der Scheitelpunktform zur Normalform und zurück
  6. QF06 Linearfaktorform und Nullstellen   -   Nullprodukt-Regel, Nullstellen, von der Scheitelpunktform zur Linearfaktorform und zurück
  7. QF07 Quadratische Gleichungen   -   pq- und abc-Formel (Mitternachtsformel), von der Normalform zur Linearfaktorform und zurück
  8. QF08 Parabeln und Geraden   -   Schnitt- und Berührpunkte, Parabelrechner, Parabelsteigung, Tangentengleichung
  9. QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen   -   Torbogen, Wurfbahn, Kanalquerschnitt
  10. QF Anhang   -   Abbildungen in Großdruck und als Schwellpapiervorlagen mit Braillebeschriftung zum Download
Verschiedene Aufgabentypen und ihre Kennzeichnung
  Erkundungsaufgaben
unterstützen dich bei der selbstständigen Erarbeitung zentraler Lerninhalte eines Lernschritts.
  Merksätze
fassen die wichtigsten Lerninhalte in kompakter Form zusammen.
Begründungsaufgaben
zielen darauf ab, Formeln und Zusammenhänge allgemein herzuleiten, zu begründen oder zu beweisen. Diese Aufgaben sind teilweise ziemlich anspruchsvoll - daher das "Dokterhut-Symbol". Vielleicht reizt dich die Herausforderung, diese Aufgaben selbstständig zu lösen - oder wenigstens die im Lernschritt angegebenen Lösungen nachzuvollziehen? Wenn es dir aber erst mal nur darum geht, die Anwendung der Merksätze und Formeln an konkreten Beispielen zu verstehen und zu trainieren, kannst du die Begründungs-Aufgaben auch überspringen und dich auf die Übungsaufgaben konzentrieren.
Beispiele
erläutern die Anwendung von Formeln und Rechenverfahren an konkreten Beispielaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen.
Übungsaufgaben
sind dafür gedacht, das erworbene Wissen zu festigen und erlernte Rechenverfahren zu trainieren. Anhand der (erst mal versteckten) Lösungen kannst du überprüfen, wie gut du den Stoff beherrschst. .
Worüber du schon etwas wissen solltest ...

Dieser Lernpfad fängt nicht "bei Null" an, sondern geht davon aus, dass du schon ein paar mathematische Grundkenntnisse mitbringst. Das betrifft vor allem die Themenbereiche

  • Term- und Gleichungsumformungen ("Äquivalenzumformungen")
  • Binomische Formeln
  • Lineare Funktionen
  • Geometrische Operationen Verschiebung, Streckung und Achsenspiegelung

  Barrierefreiheit im Lernpfad
  • Mathematische Ausdrücke wurden in diesem Lernpfad im Quelltext in der Auszeichnungssprache LaTeX geschrieben. Dadurch sind sie auch für blinde Leserinnen und Leser zugänglich, die mit einem Screenreader (z.B. NVDA oder Jaws mit dem Addon MathCat) arbeiten.
  • Die Abbildungen dieses Lernpfades findet man auch als PDF-Dokumente zum Download im Anhang sowohl im Großdruck (Arial 24) als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille). Die Braille-Dokumente können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.


Autor: Ulrich Kalina


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