Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln

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Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln

• In diesem Lernschritt wird untersucht, was sich an der Normalparabel ändert, wenn man in ihrer Funktionsgleichung den Funktionsterm $x^2$ mit einem konstanten Faktor $a$ multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=2x^2$, $h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$ und $i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$ genauer betrachtet.
• Anschließend wird wieder allgemein untersucht, welche Rolle der Parameter $a$ für die gesamte Funktionenschar $f_a(x)=a{x}^2$ spielt.
• Dies führt schließlich zu den Transformationsgleichungen für eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse.

1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen

1. Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2x^2$, $h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$ und $i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die y-Werte der Funktionen $g$, $h$ und $i$ spaltenweise mit den y-Werten der Funktion $f$. Was stellst du dabei fest?

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=2x^2$
$h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$
$i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=2x^2$	18	8	2	0	2	8	18
$h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25
$i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$	-2,25	-1	-0,25	0	-0,25	-1	-2,25

Alle y-Werte der Funktion $g$ sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die von $f$, die y-Werte von $h$ nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion $i$ unterscheiden sich von denjenigen der Funktion $h$ nur durch das negative Vorzeichen.

2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen

1. In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt-Linie und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$,  $g(x)=2x^2$,  $h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$ und $i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$ zu und begründe deine Zuordnung.
2. Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von $g$,  $h$ und $i$ jweils aus der Normalparabeln $f$ entstehen.

1. Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle.
   Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von $g(x)=2x^2$. Dies erkennt man z.B. an den Punkten $(1|2)$ und $(-1|2)$, die auf diesem Graphen liegn.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte $(2|1)$ und $(-2|1)$.
   Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion $i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$, bei der alle y-Koordinaten negativ sind.
2. Der Graph der Funktion $g(x)=2x^2$ entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 streckt, der Graph von $h(x)=\frac{1}{4}{x}^2$, indem man sie um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung staucht. Der Graph von $i(x)=-\frac{1}{4}{x}^2$, ist im gleichen Maße gestaucht wie der Graph von $h$, aber statt nach oben in der entgegengesetzten y-Richtung, d.h. von oben nach unten auf die x-Achse zu.

3. Aufgabe (Erkunden) - Zusammenhang Funktionsterm und Graph

Vergleiche in der Tabelle 1 spaltenweise die y-Werte der Funktionen $h$ und $i$ sowie die Funktionsgraphen dieser beiden Funktionen. Welche rechnerische Beziehung stellst du fest? Welche geometrische Operation überführt den Graphen von $h$ in den Graphen von $i$ ?

Die Funktionswerte von $h$ und $i$ unterscheiden sich bei gleichem x-Wert nur durch das Vorzeichen.

Wenn man den Graphen von $h$ an der x-Achse spiegelt, erhält man den Graphen von $i$ - und umgekehrt.

QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf
Vier mit verschiedenen Streckfaktoren gestreckte Parabeln

4. Aufgabe (Erkunden)   $f_a(x)=a{x}^2$

Bisher wurden einzelne Beispielfunktionen aus der Funktionenschar $f_a(x)=a{x}^2$ betrachtet. Jetzt soll ganz allgemein untersucht werden, welchen Einfluss der Parameter $a\in \mathbb{ℝ}$ auf den Graphen der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$ hat.

1. Welche gemeinsamen Eigenschaften haben alle Graphen der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$, wenn der Parameter $a$ eine positive Zahl ist ($a>0$)? Welche gemeinsamen Eigenschaften haben die Graphen, wenn $a$ negativ ist ($a<0$)?
2. Welche geometrische Operation wird mit dem Graphen von $f_a$ durchgeführt, wenn sich beim Parameter $a$ nur das Vorzeichen ändert? Wenn man diese geometrische Operation auf den veränderten Graphen noch einmal anwendet, landet man wieder beim ursprünglichen Graph. Wie lässt sich das auch rechnerisch erklären?
3. Wie verlaufen die Graphen der Funktionen $f_a(x)=a{x}^2$ für alle Parameter $a$ mit der Eigenschaft $0<a<1$ (d.h. $a$ ist ein positiver, echter Bruch) im Vergleich zu den Graphen dieser Schar, bei denen $a>1$ ist?
4. Beschreibe anschaulich, wie sich der Graph von $f_a$ verändert, wenn man von dem Wert $a=4$ ausgehend den Parameter $a$ allmählich immer kleiner werden lässt, bis er schließlich sehr dicht über dem Wert 0 landet (z.B. bei dem Wert 0,01). Was passiert, wenn man diese Bewegung über den Wert $a=0$ hinaus weiter fortsetzt (für $a<0$)?
5. Was ist an dem Fall $a=0$ besonders?

In dem folgenden GeoGebra-Applet ändert sich die Form der Parabel mit der Funktionsgleichung $f_a(x)=a^2$, wenn man die Position des Schiebereglers $a$ verändert.

1. Für alle positiven Zahlen $a>0$ verlaufen die Parabeln der Schar $f_a(x)=a{x}^2$ oberhalb der x-Achse und sind nach oben geöffnet. Bei negativem $a$ verlaufen sie unterhalb der x-Achse und sind nach unten geöffnet.
2. Wenn sich beim Parameter $a$ nur das Vorzeichen ändert, dann bedeutet das, dass der Graph von $f_a(x)=a{x}^2$ an der x-Achse gespiegelt wird. Wenn man eine Achsenspiegelung noch einmal auf das schon gespiegelte Objekt anwendet, erhält man wieder das ursprüngliche Objekt. Bei der Spiegelung der Parabeln entspricht dies der rechnerischen Regel: Wenn man einen Term mit der Zahl $a=-1$ multipliziert und dies anschließend noch einmal wiederholt, erhält man als Ergebnis wieder den ursprünglichen Term, denn des gilt die Regel "Minus mal minus ist gleich plus".
3. Die Graphen der Funktionen $f_a(x)=a{x}^2$ verlaufen für alle Parameter $a$ mit der Eigenschaft $0<a<1$ oberhalb der x-Achse, aber unterhalb der Normalparabel. Demgegenüber verlaufen die Graphen derjenigen Funktionen, bei denen $a>1$ ist, oberhalb der Normalparabel. Je größer $a$ ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von $f_a$. Für große $a$ nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für $a$-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an.
4. Wenn man von dem Wert $a=4$ ausgehend den Parameter $a$ allmählich immer kleiner werden lässt, dann werden die Parabelarme immer stärker "nach unten auseinandergedrückt", also in y-Richtung gestaucht. Wenn $a$ einen Wert sehr dicht über dem Wert 0 annimmt, verlaufen die Parabelarme sehr flach, also fast auf der x-Achse. Wenn man diese Bewegung über den Wert $a=0$ hinaus weiter fortsetzt (für $a<0$), entfernen sich die Parabelarme unterhalb der x-Achse wieder von der x-Achse und nähern sich im weiteren Verlauf für betragsmäßig große, negative $a$-Werte unterhalb der x-Achse erneut der y-Achse.
5. Im Fall $a=0$ ist der Graph der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$ die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.

Zusammenfassung   $f_a(x)=a{x}^2$

Streckung der Normalparabel in y-Richtung

• Der Graph der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$ ist für jede Zahl $a\in \mathbb{ℝ},a=0$ eine um den Streckfaktor $a$ in y-Richtung gestreckte Normalparabel.

• Alle Funktionen der Funktionenschar $f_a$haben ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung $O(0|0)$.

• Der Streckfaktor $a$ beeinflusst den Verlauf des Graphen folgendermaßen:
  • Für $a>0$ verläuft der Graph oberhalb der x-Achse und ist nach oben geöffnet, für $a<0$ verläuft er unterhalb der x-Achse und ist nach unten geöffnet.
  • Für $a>1$ verläuft der Graph oberhalb der Normalparabel, für $0<a<1$ zwischen der Normalparabel und der x-Achse. Je größer $a$ ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von $f_a$. Für große $a$ nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für $a$-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an. Auch, wenn es sich anschaulich um eine Stauchung des Graphen handelt, spricht man im mathematischen Sinne von einer Streckung, wenn der Streckfaktor ein echter Bruch ist.
  • Der Graph von $f_{-a}$ entsteht aus dem Graphen von $f_a$ durch Spiegelung an der x-Achse.
  • Im Fall $a=0$ ist der Graph der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$ die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.

5. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen

Berechne den Scharparameter $a\in \mathbb{ℝ}$ so, dass der Graph der Funktion $f_a(x)=a{x}^2$ durch den Punkt $P(-5|6)$ geht.

Ansatz: Koordinaten des Punktes $P(-5|6)$ in die Gleichung der Schar $f_a$ einsetzen und die entstehende Gleichung dann nach $a$ auflösen.

$f_a(x)=a{x}^2$ $\iff 6=a\cdot (-5{)}^2$ $\iff 6=a\cdot 25$ $\iff a=\frac{6}{25}=0,24$

Auch die Gleichung $f_a(x)=a{x}^2$ zur Streckung der Normalparabel in y-Richtung kann als Transformation für weitere Funktionen verallgemeinert werden.

Zusammenfassung   $g(x)=a\cdot f(x)$

Transformationsgleichung zur Streckung eines beliebigen Funktionsgraphen in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse

• Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion $g$ dadurch entsteht, dass man den gesamten Funktionsterm einer anderen Funktion $f$ mit einem Faktor $a\in \mathbb{ℝ},a=0$ multipliziert (kurz: $g(x)=a\cdot f(x)$, dann entsteht der Graph von $g$, indem man den Graphen von $f$ um den Betrag von $a$ in y-Richtung streckt.
• Für $a>0$ beschreibt die Transformationsgleichung eine Streckung in positiver y-Richtung, für $0<a<1$ eine "Stauchung" in positiver y-Richtung, für $a<0$ eine Streckung in negativer y-Richtung.
• Für $a=-1$ beschreibt die Transformationsgleichung eine Spiegelung des Graphen von $f$ an der x-Achse.

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