Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen

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Lernschritt Quadratische Gleichungen lösen

• In verschiedenen mathematischen Zusammenhängen kommt es öfters mal vor, dass eine quadratische Gleichung der Form $a{x}^2+bx+c=0$ mit $a=0$ zu lösen ist. Das ist zwar - wie wir gesehen haben - möglich, indem man die Normalform zuerst mithilfe einer quadratischen Ergängzung in die Scheitelpunktform und diese anschließend mit der 3. binomischen Formel in die Linearfaktorform überführt. Aber dieses Verfahren ist ziemlich aufwendig und langwierig. Eine schnellere Methode besteht darin, entweder die so genannte pq-Formel oder die abc-Formel (auch bekannt als "Mitternachtsformel") anzuwenden.
• Allerdings gibt es auch einige Sonderfälle, in denen man auch ganz ohne diese Formeln auskommt.

Quadratischen Gleichungen, die man sehr schnell auch ohne pq-Formel lösen kann

Bevor man die pq-Formel oder die abc-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung $a{x}^2+bx+c=0$ anwendet, sollte man erst mal prüfen, ob nicht einer der folgenden Sonderfälle vorliegt, bei denen man diese Formeln gar nicht benötigt.

Beispiele für einfache Sonderfälle quadratischer Gleichungen

$\mathit{c}\mathit{=}\mathit{0}$

In einer Gleichung wie z.B. $x^2-7,63x=0$ kann man auf der linken Seite einfach ein $x$ ausklammern und erhält dadurch die Aufspaltung in zwei Linearfaktoren: $x\cdot (x-7,63)=0$. Der eine Faktor ist $x$, der andere die Klammer $(x-7,63)$. Nach der Nullprodukt-Regel ist daher entweder $x=0$ oder $x-7,63=0$, also $x=7,63$. Die Nullstellen lauten $x_1=0$ und $x_2=7,63$.

$\mathit{b}\mathit{=}\mathit{0}$

Eine Gleichung wie z.B. $x^2-2=0$ kann man direkt mit der 3. binomischen Formel umformen zu $(x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2})=0$ und darin mit der Nullprodukt-Regel die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{2}$ und $x_2=+\sqrt{2}$ ablesen.
Alternativ kann man auch die Gleichung $x^2-2=0$ umformen zu $x^2=2$. Hier kann man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen, muss dabei aber bedenken, dass man damit erst einmal nur die positive Lösung $x=+\sqrt{2}$ erhält und die zweite, negative Lösung noch hinzugefügt werden muss (siehe Kapitel QF01 Normalparabel).

1. oder 2. binomische Formel direkt anwenden

Eine Gleichung wie z.B. $x^2+10x+25=0$ kann man direkt mit der 1. binomischen Formel in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen und darin die Nullstellen ablesen:
$x^2+10x+25=0$ $\iff (x+5{)}^2=0$ $\iff (x+5)\cdot (x+5)=0$. Hier ist $x_1=x_2=-5$ eine (doppelte) Nullstelle der Funktion $f(x)=(x+5{)}^2$ und damit die Lösung dieser quadratischen Gleichung.

Im Folgenden wird zuerst die pq-Formel vorgestellt und dann an zwei Beispielen gezeigt, wie man sie anwenden kann. Die pq-Formel ist etwas einfacher als die abc-Formel, leistet letztlich aber nicht weniger. Beiden Formeln liegt die Idee zu Grunde, dass man sie (irgendwann mal vorab) einmalig über den Weg der quadratischen Ergänzung und 3. binomische Formel hergeleitet hat - und zwar ganz allgemein mit den Koeffizienten der quadratischen Gleichung als Variablen. Dadurch erhält man die Lösungen $x_1$ und $x_2$ als Ausdrücke, die auch wieder diese Koeffizienten enthalten. Das sind die Formeln. Um sie anzuwenden, muss man dann nur noch in ihnen für die Koeffizienten die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung einsetzen.

pq-Formel

Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ besitzt die zwei Lösungen

$x_1=-\frac{1}{2}p+\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$ und $x_2=-\frac{1}{2}p-\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$,

wenn der Ausdruck unter der Wurzel (die so genannte "Diskriminante") $D=\frac{1}{4}{p}^2-q>0$ ist. In einer abgekürzten Schreibweise fasst man die beiden Formeln für $x_1$ und $x_2$ auch so zu einer Formel zusammen:

${\mathit{x}}_{\mathit{1},\mathit{2}}\mathit{=}\mathit{-}\frac{1}{2}\mathit{p}\mathit{\pm }\sqrt{\frac{1}{4}{\mathit{p}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{q}}$

Wenn $D=0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1=x_2=-\frac{1}{2}p$.

Wenn $D<0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

1. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Aufgabe: Löse die quadratische Gleichung

$x^2-6x+5=0$

mithilfe der pq-Formel (siehe 1. Beispiel im Kapitel QF06 Linearfaktorform und Nullstellen)

Lösung:

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}p\pm \sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p=-6$ und $q=5$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}p=-\frac{1}{2}\cdot (-6)=\mathit{3}$
3. Schritt: Der vordere Ausdruck innerhalb der Wurzel lautet $\frac{1}{4}{p}^2$. Das ist aber nichts anderes als das Quadrat des Terms $-\frac{1}{2}p$, den wir im 2. Schritt schon berechnet haben - im vorliegenden Beispiel mit dem Ergebnis 3. Wir müssen also lediglich dieses Zwischenergebnis zu $3^2=9$ quadrieren und davon $q=5$ subtrahieren, um die gesamte Diskriminante D (den Ausdruck unter der Wurzel) zu berechnen:
   $D=\frac{1}{4}{p}^2-q=9-5=4$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D}=\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$ $=\sqrt{4}=\mathit{2}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1=3+2=5$ und $x_1=3-2=1$.

2. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Aufgabe: Löse die quadratische Gleichung

$\frac{2}{5}{x}^2+\frac{4}{5}x-6=0$

mithilfe der pq-Formel (siehe Aufgabe 3.3 im Kapitel QF06 Linearfaktorform und Nullstellen).

Lösung:
Vorbereitender Schritt: Da in diesem Beispiel der Koeffizient $a=\frac{2}{5}=1$ ist, dividieren wir als erstes die gegebene Gleichung durch diesen Koeffizienten, indem wir mit dem Kehrwert $\frac{5}{2}$ multiplizieren, und erhalten so die Gleichung:

$x^2+2x-15=0$

Anwendung der pq-Formel:

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}p\pm \sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p=2$ und $q=-15$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}p=-\frac{1}{2}\cdot 2=\mathit{-}\mathit{1}$
3. Schritt: Dieses Zwischenergebnis zu $(-1{)}^2=1$ quadrieren und davon $q=-15$ subtrahieren, um D zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass hier mit $q=-15$ eine negative Zahl subtrahiert werden muss, was zur Addition von 15 führt: $D=1-(-15)=1+15=16$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D}=\sqrt{16}=\mathit{4}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1=-1+4=3$ und $x_2=-1-4=-5$.

1. Aufgabe (Üben) - pq-Formel anwenden, von der Normalform zur Linearfaktorform und zurück

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel. Bilde anschließend zur Kontrolle aus den Lösungen die Linearfaktorform und daraus die Normalform der entsprechenden quadratischen Funktion.

1. $x^2+4x-21=0$
2. $2x^2-11x-6=0$
3. $4x^2+\frac{1}{3}x-2=0$

1. $p=4$, $q=-21$     Lösungen:   $x_1=3$ und $x_2=-7$
   $(x-3)(x+7)=0$ $\iff x^2+4x-21=0$
2. $p=-\frac{11}{2}$, $q=-3$     Lösungen:   $x_1=-0,5$ und $x_2=6$
   $(x+0,5)(x-6)=0$ $\iff x^2-5,5x-3=0$ $\iff 2x^2-11x-6=0$
3. $p=\frac{1}{12}$, $q=-\frac{1}{2}$     Lösungen:   $x_1=\frac{2}{3}$ und $x_2=-\frac{3}{4}$
   $(x-\frac{2}{3})(x+\frac{3}{4})=0$ $\iff x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2}=0$ $\iff 4x^2+\frac{1}{3}x-2=0$

Zusammenfassung - Formen quadratischer Funktionsgleichungen

Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d{)}^2+e$

direkt ablesbar: Scheitelpunkt $(d|e)$
Umwandlung in die Normalform: Ausmultiplizieren und zusammenfassen
Umwandlung in die Linearfaktorform: a ausklammern, dann 3. binomische Formel

Normalform $f(x)=a{x}^2+bx+c$

direkt ablesbar: Schnittpunkt mit der y-Achse $(0|c)$
Umwandlung in die Linearfaktorform: Berechnung der Nullstellen mit pq-Formel
Umwandlung in die Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung

Linearfaktorform $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

direkt ablesbar: Schnittpunkte mit der x-Achse $(x_1|0)$ und $(x_2|0)$
Umwandlung in die Normalform: Ausmultiplizieren und zusammenfassen
Umwandlung in die Scheitelpunktform: Mittelwert der Nullstellen in Linearfaktorform einsetzen

2. Aufgabe (Üben) - Trainingszirkel im Eigenbau

Wenn du die Rechenverfahren zur Bestimmung der Achsenschnittpunkte und des Scheitelpunktes einer Parabeln noch an weiteren Aufgaben trainieren möchtest - unabhängig davon, in welcher Form die Funktionsgleichung gegeben ist - dann kannst du dir solche Aufgaben einschließlich ihrer Lösungen in Form eines Trainingszirkels leicht selbst erstellen:

1. Wähle zwei beliebige Zahlen $x_1$ und $x_2$ als Nullstellen einer Funktion $f$ und erstelle daraus - zusammen mit einem beliebigen Streckfaktor $a$ deiner Wahl - eine Linearfaktorform. Beispiel:
   $x_1=-6$, $x_2=4$ und $a=-1$, also
   Linearfaktorform $f(x)=-(x+6)(x-4)$
2. Wandele diese Linearfaktorform durch Ausmultiplizieren in die Normalform um. Beispiel:
   Normalform $f(x)=-(x^2+2x-24)$ $=-x^2-2x+24$
3. Bestimme die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ mit der pq-Formel. Beispiel:
   $x^2+2x-24=0$ $\Rightarrow x_{1,2}=-\frac{1}{2}\cdot 2\pm \sqrt{1-(-24)}=-1\pm 5$. Als Kontrollergebnis erhälst du die von dir gewählten Nullstellen: $x_1=-6$ und $x_2=4$.
4. Bestimme die Scheitelpunktform mit dem Mittelwert der Nullstellen. Beispiel:
   $d=\frac{-6+4}{2}=-1$ und $e=f(-1)=(-1)\cdot (-1+6)\cdot (-1-4)=25$, also Scheitelpunkt $(-1|25)$ und
   Scheitelpunktform $f(x)=-(x+1{)}^2+25$.
5. Bestimme zur Kontrolle aus der Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen wieder die Normalform. Beispiel:
   Normalform $f(x)=-(x^2+2x+1)+25$ $=-x^2-2x-1+25$ $=-x^2-2x+24$

3. Aufgabe (Begründen) - Satz von Vieta

Begründe den so genannten "Satz von Vieta", der besagt: Wenn $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ sind, dann gilt:

$\mathit{p}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{(}{\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{+}{\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{)}$ und $\mathit{q}\mathit{=}{\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{\cdot }{\mathit{x}}_{\mathit{2}}$

Wenn $x_1$ und $x_2$ die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind, dann gilt nach der Nullprodukt-Regel:

$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$     | Ausmultiplizieren der Klammern:

$x^2-x_1\cdot x-x_2\cdot x+x_1\cdot x_2=0$     | Zusammenfassen:

$x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2=0$

Die quadratische Gleichung besitzt also die Koeffizienten $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$.

4. Aufgabe (Begründen) - pq-Formel herleiten

Man muss die pq-Formeln nicht unbedingt erst selber hergeleitet haben, bevor man sie anwenden kann - schließlich findet man sie in jeder Formelsammlung. Aber vielleicht reizt es dich ja, diese Herleitung auch selbstständig hinzubekommen?

Ausgangspunkt ist die Normalform der quadratischen Funktion $f(x)=x^2+px+q$. Diese kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden. Der Koeffizient $p$ entspricht dabei dem Ausdruck $2b$ in der 1. binomischen Formel. $2b=p\iff b=\frac{1}{2}p$. Mit der 3. binomischen Formel wird anschließend die Scheitelpunktform in die Linearfaktorform überführt, aus der die Nullstellen abgelesen werden können.

Gegeben ist die quadratische Funktion in der Normalform

$f(x)=x^2+px+q$.

Um ihre Nullstellen zu bestimmen, wird diese Normalform zunächst mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt:

$f(x)=x^2+px+{\left(\frac{1}{2}p\right)}^{\mathit{2}}-{\left(\frac{1}{2}p\right)}^{\mathit{2}}+q$

$f(x)={(x+\frac{1}{2}p)}^{\mathit{2}}-\frac{1}{4}{p}^2+q$

$f(x)={(x+\frac{1}{2}p)}^2-(\frac{1}{4}{p}^2-q)$

Um nun die 3. binomische Formel anwenden zu können, wird die hintere Klammer zu einem Quadrat umgeformt:

$f(x)={(x+\frac{1}{2}p)}^2-{\left(\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}\right)}^{\mathit{2}}$

Anwendung der 3. binomischen Formel mit $a^2={(x+\frac{1}{2}p)}^2$ und $b^2={\left(\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}\right)}^2$

$f(x)=(x+\frac{1}{2}p\mathit{+}\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q})\cdot (x+\frac{1}{2}p\mathit{-}\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q})$

Setzt man diese Linearfaktorform von $f$ gleich Null, so erhält man die Nullstellen:

$x_1=-\frac{1}{2}p\mathit{-}\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$ und

$x_2=-\frac{1}{2}p\mathit{+}\sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$.

Die folgende abc-Formel leistet im Prinzip das Gleiche wie die pq-Formel und kann auch auf diese zurückgeführt werden.

abc-Formel ("Mitternachtsformel")

Die quadratische Gleichung $a{x}^2+bx+c=0$ mit $a=0$ besitzt die zwei Lösungen

${\mathit{x}}_{\mathit{1},\mathit{2}}\mathit{=}\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,

wenn der Ausdruck unter der Wurzel $D=b^2-4ac>0$ ist.

Wenn $D=0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$.

Wenn $D<0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

5. Aufgabe (Begründen) - abc-Formel herleiten

Auch die abc-Formeln muss man nicht selbst hergeleitet haben, um sie anwenden zu können. Aber eine solche Herleitung ist gar nicht so schwierig, wenn man die pq-Formel dafür verwendet. Versuch es doch mal!

$a{x}^2+bx+c=0$ mit $a=0$

Division auf beiden Seiten der Gleichung durch $a$:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Setze in der pq-Formel   $p=\frac{b}{a}$   und   $q=\frac{c}{a}$:

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}p\pm \sqrt{\frac{1}{4}{p}^2-q}$

$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\pm \sqrt{\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^2-\frac{c}{a}}$

$x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm \sqrt{\frac{1}{4}\cdot \frac{b^2}{a^2}-\frac{c}{a}}$

$x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2}=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

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