Lernpfad Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen

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Lernschritt Sachanwendungen quadratischer Funktionen

In den vorangegangenen Kapiteln hast du eine ganze Menge über quadratische Funktionen gelernt. Jetzt geht es darum, das erworbene Wissen als "mathematisches Handwerkszeug" nicht mehr nur für innermathematische Aufgaben zu nutzen, sondern auch bei Fragestellungen anzuwenden, die einen Bezug zur realen Welt haben.

Mathematische Modellierung

Bei der Modellierung einer realen Situation durch ein "mathematisches Modell" wird die Realität zwar häufig ein Stück weit "idealisiert", dafür ermöglicht das Modell aber vergleichsweise einfache Berechnungen.

Ein einfaches Beispiel soll verdeutlichen, was damit gemeint ist: Ein Kreis ist beispielsweise in der Mathematik definiert als die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem gemeinsamen Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Kreisförmige Objekte in der realen Welt wie Räder, Topfdeckel oder Zielscheiben sind eigentlich nie absolut kreisförmig im Sinne dieser mathematischen Definition, da es in der Realität immer kleine Unregelmäßigkeiten und Abweichungen gibt. Diese sind aber in vielen Fällen so klein und unbedeutend, dass man trotzdem sehr brauchbare Ergebnisse erhält, wenn man die mathematischen Kreisformeln (z.B. für den Kreisumfang oder den Flächeninhalt) auf diese realen Objekte anwendet.

In ähnlicher Weise kann man auch die Beziehungen zwischen Größen aus der realen Welt in einigen Fällen durch mathematische Funktionen modellieren. Auch hierbei können die Verhältnisse ein Stück weit "idealisiert" werden. Aber die Berechnungen sind im Modell vergleichsweise einfach und die Abweichungen von der Realität sind oft so geringfügig, dass sie in der Praxis keine Rolle spielen.

Anwendungsaufgaben

QF09Abbildungen 1-3 Arial24.pdf
mit Skizzen zur 1., 2. und 3. Aufgabe

1. Aufgabe (Üben) - Torbogen

1. Aufgabe (Üben) - Torbogen

Ein Torbogen besitzt die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel. In der Höhe von 2 Metern ist die Toröffnung 1 Meter breit. Wie hoch ist der Torbogen an seiner höchsten Stelle und wie breit ist er am Boden? (Siehe QF09 Abbildung 1 Torbogen).

Modellierungsansatz: Eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $(0|e)$ (höchster Punkt des Torbogens) auf der y-Achse: $f(x) = -x^2 +e$

Der Punkt $(0,5|2)$ liegt auf der Parabel (halbe Breite des Bogens (0,5 Meter) in 2 Meter Höhe) $f(0,5) = 2$

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

$f(x) = -x^2 +e$

$\Leftrightarrow - 0,5^2 + e = 2$
$\Leftrightarrow -0,25 + e = 2$
$\Leftrightarrow e = 2,25$ = Höhe des Torbogens

$f(x) =-x^2 +2,25$

Berechnung der Nullstellen:

Setze $f(x) = 0$:
$-x^2 + 2,25 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 = 2,25$
$\Rightarrow x_1 = 1,5$ und $x_2 = -1,5$

Ergebnis: Die Breite des Torbogens am Boden (auf der x-Achse) beträgt: $2 \cdot 1,5 = 3$ Meter

2. Aufgabe (Üben) - Schräger Wurf

2. Aufgabe (Üben) - Schräger Wurf

Ein Ball wird in einem Winkel von 45° (in Bezug auf den ebenen Boden) abgeschossen und trifft nach 10 m wieder auf dem Boden auf. Die Flugbahn entspricht im mathematischen Modell einer Parabel, wobei Reibungseffekte vernachlässigt werden. (Siehe QF09 Abbildung 2 Wurf).

1. Welche Flughöhe erreicht der Ball im höchsten Punkt seiner Flugbahn?
2. In welcher Höhe befindet sich der Ball in dem Moment, in dem er 8 m weit geflogen ist?

Modellierung: Man kann den Startpunkt der Flugbahn beispielsweise in den Koordinatenursprung $(0|0)$ legen. Der Zielpunkt ist dann der Punkt $(10|0)$ und die Linearfaktorform bzw. die Normalform der Wurfparabel lauten: $f(x) = a x (x -10)$ $= ax^2 -10ax$

Bestimmung des Faktors $a$ in der Funktionsgleichung $f(x) = a x (x -10)$ $= ax^2 -10ax$

Wegen der Achsensymmetrie der Parabel liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts $x_S$ in der Mitte zwischen den Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 10$. Daher ist $x_S=5$.

Wegen des Abschusswinkels von 45° beträgt die Steigung an der Nullstelle $x_1 = 0$ (im Startpunkt) $m = 1$. Durch Einsetzen in die Steigungsformel $m = 2 a x_t + b$ erhält man:
$1 = 2 a \cdot 0 - 10 a$
$\Rightarrow 1 = -10 a$
$\Rightarrow a = -\frac{1}{10}$

$f(x)= -\frac{1}{10} x^2 + x$

1. Maximale Flughöhe: $f(5) = -\frac{1}{10} \cdot 5^2 +5$ $= -2,5 +5 = 2,5$
2. Flughöhe nach 8 m: $f(8) = -\frac{1}{10} \cdot 8^2 +8$ $= -6,4 +8 = 1,6$

3. Aufgabe (Üben) - Kanalquerschnitt

3. Aufgabe (Üben) - Kanalquerschnitt

Ein geplanter Wasserkanal soll im Querschnitt die Form einer Parabel erhalten und 4 m breit werden. Außerdem soll das Kanalbett im Querschnitt an seinen steilsten Stellen mit einer Steigung von $m = -1,2$ gegenüber dem ebenen Erdboden abfallen bzw. mit $m = +1,2$ ansteigen. Wie tief wird der Kanal an seiner tiefsten Stelle?

Man kann den ebenen Boden als x-Achse betrachten und die Modellierungsfunktion so wählen, dass der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse liegt. Modellierungsfunktion: $f(x) = a (x+2) (x-2)$ $= ax^2 -4a$ $= ax^2 + e$

$f(x) = ax^2 +e$ $= a(x+2)(x-2)$ $= ax^2 -4a$

Der Parabelabschnitt, der im Modell den Querschnitt des Kanals darstellt, besitzt in seiner rechten Nullstelle $x_2 = 2$ die größte Steigung $m_2 = +1,2$. Um den Streckfaktor $a=0$ zu berechnen, kann man beide zusammen mit $b=0$ in die Steigungsformel $m = 2a x_t + b$ einsetzen:
$1,2 = 2a \cdot 2 +0 =4a$ $\Rightarrow a = 0,3$
Für die y-Koordinate des Scheitelpunktes erhält man damit $e = -4a$ $=- 4 \cdot 0,3$ $= -1,2$
$\Rightarrow f(x)= 0,3 x^2 -1,2$

Ergebnis: Der Kanal wird 1,2 Meter tief.

Extremwertaufgaben

Bei Extremwertaufgaben geht es darum, eine bestimmte Größe zu optimieren. Das kann z.B. der Gewinn eines Unternehmens sein, der möglichst groß werden soll, oder der Materialverbrauch bei der Herstellung eines Produktes, der minimiert werden soll. Ein sehr einfaches Beispiel ist folgende Optimierungsaufgabe:

QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf
Skizzen zum Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck

Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck

Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck

Gesucht werden die Länge und die Breite eines Rechtecks, dessen Umfang 32 cm beträgt und dessen Flächeninhalt dabei möglichst groß sein soll.

Rechtecke mit einem Umfang von 32 cm gibt es zunächst einmal viele. So besitzt z.B. sowohl ein Rechteck mit einer Länge von x = 12 cm und einer Breite von y = 4 cm einen Umfang von $U = 2 \cdot (x+y) = 2 \cdot (12 \text{ cm}+4 \text{ cm}) = 32 \text{ cm}$ ebenso wie auch ein Rechteck mit einer Länge von $x = 10 \text{ cm}$ und einer Breite von $y = 6 \text{ cm}$ usw. (Siehe QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck)

Die Flächeninhalte dieser Rechtecke sind aber nicht gleich groß. Im ersten Beispielrechteck beträgt der Flächeninhalt $A = x \cdot y = 12 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2$, im zweiten Beispiel beträgt er $A = x \cdot y = 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$. Es stellt sich daher die Frage, wie x und y gewählt werden müssen, damit der Flächeninhalt A maximal wird.

Eine Lösungsidee könnte darin bestehen, verschiedene Werte für x und y auszuprobieren. Mit dieser Strategie kommt man bei dieser sehr einfachen Aufgabe auch tatsächlich relativ schnell zur gesuchten Lösung.

Bei komplexeren Aufgaben mit weniger "glatten" Zahlen ist das Ausprobieren aber keine besonders effektive Methode. Hier ist es günstiger, wenn man einen Weg findet, mit dem man die Lösung gezielt berechnen kann. Ein solcher Lösungsweg wird hier vorgestellt:

Lösungsweg für Extremwertaufgaben in vier Schritten

1. Schritt - Zielfunktion aufstellen

Im ersten Schritt stellt man eine Funktionsgleichung auf, in der die Größe, die optimiert werden soll, als Funktionswert in Abhängigkeit von anderen Größen dargestellt wird. Eine solche Funktion wird auch als "Zielfunktion" bezeichnet. In unserem Beispiel soll der Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y maximiert werden. Die bekannte Formel für den Flächeninhalt lautet: $A = x \cdot y$. Der Flächeninhalt A hängt von den Seitenlängen x und y ab. Als Funktion kann man das auch so schreiben: $A(x,y) = x \cdot y$

2. Schritt - Gleichung für Nebenbedingung aufstellen

Eine Problem besteht nun darin, dass die Zielgröße A von zwei anderen Größen, nämlich x und y abhängt. Das kann man aber mithilfe der Vorgabe, dass der Umfang 32 cm betragen soll, (der so genannten "Nebenbedingung") leicht ändern, indem man die Beziehung zwischen den beiden unabhängigen Größen x und y als Gleichung schreibt, in der die eine von der anderen abhängt:
$U = 2 \cdot (x +y) = 32$ $\Rightarrow x +y = 16$ $\Rightarrow y =16 -x$

3. Schritt - Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen

Wenn man diesen Ausdruck für y in die Zielfunktion einsetzt, erhält man eine Funktionsgleichung, in der der Flächeninhalt A nur noch von x abhängt: $A(x) = x \cdot (16 -x) = -x^2 +16x$

Dass diese Funktionsgleichung tatsächlich den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von x liefert, kann man auch noch einmal an den beiden Beispielen von oben überprüfen:
Für x = 12 ist $A(12) = -12^2 +16 \cdot 12 = -144 + 192 = 48$
Für x = 10 ist $A(10) = -10^2 +16 \cdot 10 = -100 + 160 = 60$
Wie kommen wir nun zum gesuchten x, bei dem $A(x)$ maximal wird?

4. Schritt - Extremum der Zielfunktion ermitteln

Die Funktion $A(x) = -x^2 +16x$ ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist (siehe QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck). Der höchste Punkt dieser Parabel ist ihr Scheitelpunkt. Dieser besitzt von allen Parabelpunkten die größte y-Koordinate, also den größten Funktionswert $A(x)$ und das ist in diesem Sachzusammenhang zugleich der größte Flächeninhalt des Rechtecks. Die Frage nach dem größten Flächeninhalt wird also durch die Modellierung zurückgeführt auf die Frage nach dem höchsten Parabelpunkt. Das gesuchte x ist der x-Wert des Scheitelpunktes dieser Parabel.

Aus der Linearfaktorform der Funktion $A(x) = x \cdot (16 -x)$ kann man ihre Nullstellen direkt ablesen. Sie lauten $x_1 = 0$ und $x_2 = 16$. Die x-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes liegt (wegen der Achsensymmetrie der Parabel) in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher $x_s = 8$. Der maximale Flächeninhalt ist entsprechend $A(x_s) = A(8)$ $= -8^2 +16 \cdot 8$ $= -64 +128 = 64 \; ( \text{ cm}^2)$
Das gesuchte Rechteck hat also eine Länge von $x_s = 8 \text{ cm}$. Seine Breite beträgt $y_s = 16 - x_s$ $= 16 -8 = 8 \; ( \text{ cm})$.

Ergebnis

Bei dem gesuchten Rechteck mit maximalem Flächeninhalt handelt es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm.

QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf
Skizzen zur 4. und 5. Aufgabe

4. Aufgabe (Üben) - Zaun

4. Aufgabe (Üben) - Zaun

Eine rechteckige Fläche soll als Auslauf für Tiere eingezäunt werden. Drei Seiten des Auslaufs werden durch einen insgesamt 24 m lange Zaun begrenzt. Für die vierte Seite wird kein Zaun benötigt, da der Auslauf hier von einer Hauswand begrenzt wird (siehe Abbildung QF09 Abbildung 5 Zaun). Wie müssen die Seiten x und y des Rechtecks gewählt werden, damit der Auslauf eine möglichst große Fläche einnimmt und wie groß ist diese Fläche?

1. Zielfunktion: $A(x,y) = x \cdot y$
2. Nebenbedingung: $2x +y = 24 \Rightarrow y = -2x +24$
3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: $A(x) = x \cdot (-2x +24)$ $= -2\cdot x \cdot (x -12)$
4. Extremum der Zielfunktion: Nullstellen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 12$. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher $x_s = 6$. Das entsprechende y ist $y_s = -2x_s +24$ $= -2 \cdot 6 + 24 = 12$.
5. Ergebnis: Die Seitenlängen des Auslaufs müssen 6 m und 12 m betragen, damit der Flächeninhalt maximal wird. Dieser beträgt dann $A(x_s, y_s) = A(6, 12)$ $= 6 \text{ m }\cdot 12 \text{ m }$ $= 72 \; \text{ m}^2$.

5. Aufgabe (Üben) - Dreieck

5. Aufgabe (Üben) - Dreieck

Aus einer Holzplatte, die die Form eines rechtwinkligen Dreiecks besitzt, soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt ausgeschnitten werden. Die Katheten des Dreiecks, also die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind 90 cm und 60 cm lang. Ein Eckpunkt des Rechtecks liegt auf der Hypotenuse des Dreiecks (Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt), die anderen liegen auf den Katheten (siehe QF09 Abbildung 6 Dreieck). Wie müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird und wie groß ist dieser Flächeninhalt dann?

1. Zielfunktion: $A(x,y) = x \cdot y$
2. Nebenbedingung: Man kann den Dreieckspunkt mit dem rechten Winkel in den Ursprung eines Koordinatensystems legen und die Katheten auf die Koordinatenachsen. Die Hypotenuse kann man dann als Strecke auf der Geraden $y = -1,5x + 90$ betrachten. Die Strecke ist der Teil der Geraden, der im 1. Quadranten verläuft.
3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: $A(x) = x \cdot (-1,5x + 90)$ $= -1,5 \cdot x \cdot (x -60)$
4. Extremum der Zielfunktion: Nullstellen der Zielfunktion sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 60$. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher $x_s = 30$. Das entsprechende y ist $y_s = -1,5 \cdot 30 +90$ $= 45$.
5. Ergebnis: Die Seitenlängen des Rechtecks müssen 30 cm und 45 cm betragen, damit der Flächeninhalt maximal wird. Dieser beträgt dann $A(x_s, y_s) = A(30, 45)$ $= 30 \text{ cm }\cdot 45 \text{ cm }$ $= 1350 \text{ cm}^2$.

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