Lernpfad Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 10. April 2026, 13:04 Uhr

Lernpfad Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad erfährst du alles, was im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen wichtig ist.
Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der Gleichung einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres Graphen herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines Graphen die entsprechende Funktionsgleichung ermitteln kann.
Dazu werden verschiedene Formen einer quadratischen Funktionsgleichung - die Scheitelpunktform, die Normalform und die Linearfaktorform - vorgestellt und ineinander überführt.
Außerdem werden die hierfür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" eingeführt und erklärt. Dazu gehören die Verschiebung und Spiegelung von Graphen, die "quadratische Ergänzung" und die pq-Formel bzw. "Mitternachtsformel" - einschließlich ausführlicher Beispiele, Übungsaufgaben und Begründungen.

Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen

QF01 Normalparabel - $f(x) =x^2$ , Wertetabelle, Graph, Parabeleigenschaften, Quadratwurzel, Parabeltreppe
QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben - $f(x) =x^2 +e$ , Nullstellen, Funktionenschar
QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben - $f(x) =(x - d)^2$ , Scheitelpunkt bestimmen
QF04 Normalparabel strecken und spiegeln - $f(x) = ax^2$ , Parabelform in Abhängigkeit von a
QF05 Scheitelpunktform und Normalform - von der Scheitelpunktform $f(x) = a\;(x-d)^2 +e$ zur Normalform $f(x) =ax^2 +bx +c$ und zurück
QF06 Linearfaktorform und Nullstellen - Nullprodukt-Regel, Nullstellen, von der Scheitelpunktform zur Linearfaktorform $f(x) = a\;(x-x_1)\;(x-x_2)$ und zurück
QF07 Quadratische Gleichungen - pq- und abc-Formel (Mitternachtsformel), von der Normalform zur Linearfaktorform und zurück
QF08 Parabeln und Geraden - Schnitt- und Berührpunkte, Parabelrechner, Parabelsteigung, Tangentengleichung
QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen - Torbogen, Wurfbahn, Kanalquerschnitt
QF Anhang - Abbildungen in Großdruck und als Schwellpapiervorlagen mit Braillebeschriftung zum Download

Verschiedene Aufgabentypen und ihre Kennzeichnung

Erkundungsaufgaben: unterstützen dich bei der selbstständigen Erarbeitung zentraler Lerninhalte eines Lernschritts.
Merksätze: fassen die wichtigsten Lerninhalte in kompakter Form zusammen.
Begründungsaufgaben: zielen darauf ab, Formeln und Zusammenhänge allgemein herzuleiten, zu begründen oder zu beweisen. Diese Aufgaben sind teilweise ziemlich anspruchsvoll - daher das "Dokterhut-Symbol". Vielleicht reizt dich die Herausforderung, diese Aufgaben selbstständig zu lösen - oder wenigstens die im Lernschritt angegebenen Lösungen nachzuvollziehen? Wenn es dir aber erst mal nur darum geht, die Anwendung der Merksätze und Formeln an konkreten Beispielen zu verstehen und zu trainieren, kannst du die Begründungs-Aufgaben auch überspringen und dich auf die Übungsaufgaben konzentrieren.
Beispiele: erläutern die Anwendung von Formeln und Rechenverfahren an konkreten Beispielaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen.
Übungsaufgaben: sind dafür gedacht, das erworbene Wissen zu festigen und erlernte Rechenverfahren zu trainieren. Anhand der (erst mal versteckten) Lösungen kannst du überprüfen, wie gut du den Stoff beherrschst. .

Worüber du schon etwas wissen solltest ...

Dieser Lernpfad fängt nicht "bei Null" an, sondern geht davon aus, dass du schon ein paar mathematische Grundkenntnisse mitbringst. Das betrifft vor allem die Themenbereiche

Term- und Gleichungsumformungen ("Äquivalenzumformungen")
Binomische Formeln
Lineare Funktionen
Geometrische Operationen Verschiebung, Streckung und Achsenspiegelung

Barrierefreiheit im Lernpfad

Mathematische Ausdrücke wurden in diesem Lernpfad im Quelltext in der Auszeichnungssprache LaTeX geschrieben. Dadurch sind sie auch für blinde Leserinnen und Leser zugänglich, die mit einem Screenreader (z.B. NVDA oder Jaws mit dem Addon MathCat) arbeiten.
Die Abbildungen dieses Lernpfades findet man auch als PDF-Dokumente zum Download im Anhang sowohl im Großdruck (Arial 24) als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille). Die Braille-Dokumente können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.

Autor: Ulrich Kalina

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-{{Box|Lernpfad Quadratische Funktionen
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+| Titel = Lernpfad Quadratische Funktionen
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 * In diesem Lernpfad erfährst du alles, was im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen wichtig ist.
-* Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der ''Gleichung'' einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres ''Graphen'' herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines ''Graphen'' die entsprechende Funktions''gleichung'' ermitteln kann.
+* Eine zentrale Frage ist dabei, wie man aus der ''Gleichung'' einer Funktion etwas über die Form und den Verlauf ihres ''Graphen'' herausbekommt und wie man umgekehrt aus vorgegebenen Eigenschaften eines Graphen die entsprechende Funktionsgleichung ermitteln kann.
-* Die dafür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" werden in diesem Lernpfad ausführlich vorgestellt. Dazu gehören die '''Verschiebung''' und '''Spiegelung''' von Graphen, die "'''quadratische Ergänzung'''" und die '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" - einschließlich Übungsaufgaben und Begründung der Formeln.
+* Dazu werden verschiedene ''Formen'' einer quadratischen Funktionsgleichung - die '''Scheitelpunktform''', die '''Normalform''' und die '''Linearfaktorform''' - vorgestellt und ineinander überführt.
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+* Außerdem werden die hierfür notwendigen "mathematischen Werkzeuge" eingeführt und erklärt. Dazu gehören die '''Verschiebung''' und '''Spiegelung''' von Graphen, die "'''quadratische Ergänzung'''" und die '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" - einschließlich ausführlicher Beispiele, Übungsaufgaben und Begründungen.
-* Anhand von ''Erkundungsaufgaben'' kannst du dir das Wissen Schritt für Schritt '''selbstständig erarbeiten'''.
+}} <!-- Lernpfad-Box -->
-* In ''Merksätzen'' werden die wichtigsten Definitionen und Zusammenhänge noch einmal '''kompakt zusammengefasst'''.
-* ''Übungsaufgaben'' mit (zunächst erst einmal versteckten) Lösungen bieten dir die Möglichkeit, selbst zu überprüfen, ob du auch wirklich alles verstanden hast und dein Wissen zu '''festigen'''.
-* Einige Aufgaben zielen darauf ab, Formeln und Zusammenhänge allgemein '''herzuleiten, zu begründen oder zu beweisen'''. Diese Aufgaben sind teilweise ziemlich anspruchsvoll - daher das "Dokterhut-Symbol". Wenn es dich reizt, kannst du versuchen, diese Aufgaben selbstständig zu lösen. Es ist aber auch ok, wenn du sie erst mal überspringst oder einfach nur versuchst, die Lösungen zu diesen Aufgaben nachzuvollziehen.
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-|Lernpfad}}
 =====Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen=====
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 # [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben|QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben]] &nbsp; - &nbsp; <math>f(x) =(x - d)^2</math>, Scheitelpunkt bestimmen
 # [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln|QF04 Normalparabel strecken und spiegeln]] &nbsp; - &nbsp; <math>f(x) = ax^2</math>, Parabelform in Abhängigkeit von a
-# [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]&nbsp; - &nbsp; von der Scheitelpunktform <math>f(x) = a(x-d)^2 +e</math> zur Normalform <math>f(x) =ax^2 +bx +c </math> und zurück
+# [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]&nbsp; - &nbsp; von der Scheitelpunktform <math>f(x) = a\;(x-d)^2 +e</math> zur Normalform <math>f(x) =ax^2 +bx +c </math> und zurück
-# [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen|QF06 Linearfaktorform und Nullstellen]] &nbsp; - &nbsp; Nullprodukt-Regel, Nullstellen, von der Scheitelpunktform zur Linearfaktorform
+# [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen|QF06 Linearfaktorform und Nullstellen]] &nbsp; - &nbsp; Nullprodukt-Regel, Nullstellen, von der Scheitelpunktform zur Linearfaktorform <math>f(x) = a\;(x-x_1)\;(x-x_2)</math> und zurück
 # [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen|QF07 Quadratische Gleichungen]] &nbsp; - &nbsp; pq- und abc-Formel (Mitternachtsformel), von der Normalform zur Linearfaktorform und zurück
 # [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden|QF08 Parabeln und Geraden]] &nbsp; - &nbsp; Schnitt- und Berührpunkte, Parabelrechner, Parabelsteigung, Tangentengleichung
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 # [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang|QF Anhang]] &nbsp; - &nbsp; Abbildungen in Großdruck und als Schwellpapiervorlagen mit Braillebeschriftung zum Download
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-====Was du in diesem Lernpfad lernen kannst - und wie ====
-* Im ersten Lernschritt (Kapitel "QF01 Normalparabel") geht es los mit der einfachsten quadratischen Funktion, die es gibt, nämlich <math>f(x) = x^2</math>. Wie sieht der Graph dieser Funktion, der '''Normalparabel''' genannt wird, aus? Wie entsteht er und welche charakteristischen Eigenschaften hat er? In diesem Zusammenhang wird auch das Thema "Quadratwurzeln" noch mal kurz wiederholt.
-* In den folgenden Lernschritten wird untersucht, was sich am Funktions''graph'' ändert, wenn man die Funktions''gleichung'' der Funktion <math>f(x) = x^2</math> in bestimmter Weise erweitert - und umgekehrt. So kann man durch Verschiebungen und Streckungen (so genannte "'''Transformationen'''") der Normalparabel die Graphen (Parabeln) beliebiger quadratischer Funktionen erzeugen. Schließlich werden die Transformationsgleichungen noch für beliebige Funktionen und ihre Graphen verallgemeinert und begründet.
-* Außerdem stellt sich heraus, dass man bestimmte Parabeleigenschaften besonders leicht erkennen kann, wenn man die Gleichung der quadratischen Funktion in eine geeignete Form ('''Scheitelpunktform''', '''Normalform''' oder '''Linearfaktorform''') umformt.
-* Zu diesen verschiedenen Formen gelangt man mithilfe bestimmter rechnerischer Verfahren wie der "'''quadratischen Ergänzung'''" oder der '''pq-Formel''' bzw. "'''Mitternachtsformel'''" zur Lösung quadratischer Gleichungen. Diese Rechenverfahren werden in den Lernschritten ausführlich an Beispielen vorgestellt. Außerdem werden Übungsaufgaben mit Lösungen dazu angeboten. Und für diejenigen, die es genau wissen wollen, werden die Formeln auch allgemein begründet.
-* In einem weiteren Lernschritt wird untersucht, wie man die '''Schnittpunkte von Parabeln und Geraden''' berechnen kann. Dabei wird insbesondere auch auf das '''Tangentenproblem''' eingegangen.
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 =====Verschiedene Aufgabentypen und ihre Kennzeichnung=====
 ; <i class="fa fa-binoculars fa-1x" aria-hidden="true"></i> &nbsp; Erkundungsaufgaben
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 ; <i class="fa fa-thumb-tack fa-1x" aria-hidden="true"></i> &nbsp; Merksätze
 : fassen die wichtigsten Lerninhalte in kompakter Form zusammen.
-; <i class="fa fa-graduation-cap fa-1x" aria-hidden="true"></i> &nbsp; Begründungsaufgaben
+; <i class="fa fa-graduation-cap fa-1x" aria-hidden="true"></i> Begründungsaufgaben
-: zielen darauf ab, Formeln und Zusammenhänge allgemein '''herzuleiten, zu begründen oder zu beweisen'''. Diese Aufgaben sind teilweise ziemlich anspruchsvoll - daher das "Dokterhut-Symbol". Vielleicht reizt dich die Herausforderung, diese Aufgaben selbstständig zu lösen - oder wenigstens die im Lernschritt angegebenen Lösungen nachzuvollziehen? Wenn es dir aber erst mal nur darum geht, die Anwendung der Merksätze und Formeln an konkreten Beispielen nachzuvollziehen und zu trainieren, kannst du die Begründungs-Aufgaben auch überspringen und dich auf die Übungsaufgaben konzentrieren.
+: zielen darauf ab, Formeln und Zusammenhänge allgemein '''herzuleiten, zu begründen oder zu beweisen'''. Diese Aufgaben sind teilweise ziemlich anspruchsvoll - daher das "Dokterhut-Symbol". Vielleicht reizt dich die Herausforderung, diese Aufgaben selbstständig zu lösen - oder wenigstens die im Lernschritt angegebenen Lösungen nachzuvollziehen? Wenn es dir aber erst mal nur darum geht, die Anwendung der Merksätze und Formeln an konkreten Beispielen zu verstehen und zu trainieren, kannst du die Begründungs-Aufgaben auch überspringen und dich auf die Übungsaufgaben konzentrieren.
-; <i class="fa fa-check-square-o fa-1x" aria-hidden="true"></i> Beispielaufgaben
+; <i class="fa fa-check-square-o fa-1x" aria-hidden="true"></i> Beispiele
-: erläutern die Anwendung von Formeln und Rechenverfahren an konkreten Beispielen
+: erläutern die Anwendung von Formeln und Rechenverfahren an konkreten Beispielaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen.
 ; <i class="fa fa-pencil-square-o fa-1x" aria-hidden="true"></i> Übungsaufgaben
-: sind dafür gedacht, das erworbene Wissen zu festigen und erlernte Rechenverfahren zu trainieren. Anhand der (erst mal versteckten) Lösungen kannst du überprüfen, wie gut du den Stoff beherrschst.
+: sind dafür gedacht, das erworbene Wissen zu festigen und erlernte Rechenverfahren zu trainieren. Anhand der (erst mal versteckten) Lösungen kannst du überprüfen, wie gut du den Stoff beherrschst. .
 =====Worüber du schon etwas wissen solltest ...=====
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 * Die Abbildungen dieses Lernpfades findet man auch als PDF-Dokumente zum Download im [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang|Anhang]] sowohl im Großdruck (Arial 24) als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille). Die Braille-Dokumente können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.
 |3=}}
+Autor: [[Benutzer:Ukalina|Ulrich Kalina]]
 {{Fortsetzung

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