Benutzer:Enrico und Yannick/Kongurenzsatz WSW
Enrico und Yannick
Doch müssen immer mehrere Seiten gegeben sein, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren? Oder reichen vielleicht auch zwei Winkel und eine Seite aus?
Mit dieser Frage beschäftigt sich der Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel). In diesem Kapitel wirst du untersuchen, wie zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen die Form und Größe eines Dreiecks eindeutig festlegen können.
Anhand von Beispielen, Konstruktionen und Übungen lernst du den Kongruenzsatz WSW kennen und erfährst, warum bereits diese drei Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Dabei wirst du auch entdecken, dass sich der dritte Winkel eines Dreiecks immer berechnen lässt, wenn die beiden anderen Winkel bekannt sind.
Halte wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll fest und bearbeite die Aufgaben sorgfältig. Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind und wie man ein Dreieck mithilfe von zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite eindeutig konstruiert.
Einführung
Zwei Dreiecke werden als kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke zwei gleich große Winkel besitzen und die Seite zwischen diesen Winkeln gleich lang ist. Dabei ist es völlig egal, wie die Dreiecke angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel).
Beispiel:
Gegeben sind drei Dreiecke mit zwei gleich großen Winkeln und der dazwischenliegenden Seite. Max behauptet, dass alle drei Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen. Tom ist skeptisch. Die drei Dreiecke sehen unterschiedlich aus und sind verschieden angeordnet. Indem Max die Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.
Eine kleine Übung dazu:
Mit deinem Wissen über den Kongruenzsatz SSS solltest du die fehlenden Seitenlängen der Dreiecke problemlos ergänzen können!
Aus dem Kongruenzsatz WSW können wir noch eine weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Hat man die Maße von zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren.
Gegeben sind die Winkel α = 50°, β = 70° und die Seite c = 5 cm. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selbst an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.
Lernkontrolle
Hier findest du einige Übungen die du mit deinem Wissen zu dem Kongruenzsat WSW problemlos erledigen kannst!
Konstruiere das Dreieck ABC in deinem Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und bestimme anschließend den dritten Winkel.
a) α = 40°; β = 70°; c = 6 cm
b) α = 55°; β = 65°; c = 5 cm
Zusammenfassung
In diesem Kapitel hast du den Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel) kennengelernt. Du hast gelernt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite übereinstimmen.
Außerdem hast du erfahren, dass sich ein Dreieck eindeutig konstruieren lässt, wenn zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen bekannt sind. Die beiden Winkel bestimmen die Form des Dreiecks, während die gegebene Seite seine Größe festlegt.
Durch die Beispiele, Konstruktionen und Übungen konntest du nachvollziehen, warum diese drei Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Der Kongruenzsatz WSW hilft uns deshalb dabei, die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen und Dreiecke sicher zu konstruieren.
Du kennst nun alle vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW. Mit ihrer Hilfe kannst du entscheiden, wann zwei Dreiecke kongruent sind und wie sich Dreiecke eindeutig konstruieren lassen.
