Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SsW
Enrico und Yannick
Nun stellt sich eine weitere spannende Frage: Reichen auch zwei Seiten und ein Winkel aus, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren?
Mit genau dieser Frage beschäftigt sich der Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel). Im Gegensatz zum Kongruenzsatz SWS liegt der gegebene Winkel hier jedoch nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten. Dadurch entsteht eine besondere Situation, die wir genauer untersuchen werden.
In diesem Kapitel lernst du, unter welchen Bedingungen zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent sind und warum die Lage des Winkels dabei eine wichtige Rolle spielt. Anhand von Beispielen, Konstruktionen und Übungen wirst du herausfinden, wann ein Dreieck eindeutig bestimmt ist und wann möglicherweise mehrere Lösungen entstehen können.
Halte wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll fest und bearbeite die Aufgaben sorgfältig. Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann der Kongruenzsatz SsW angewendet werden darf und wie man mit den gegebenen Angaben ein Dreieck eindeutig konstruiert.
Einführung
Zwei Dreiecke werden als Kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier die lange Seite (S), die kurze Seite (s) und den Winkel (W) betrachtet, nennt man diesen Kongruenzsatz SsW.
Beispiel:
Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a= 3 cm; b= 2 cm und dem Winkel Alpha= 70º. Max behauptet, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Seiten übereinstimmen. Außerdem liegen die übereinstimmenden Winkel den längeren Seiten gegenüber. Tom ist skeptisch. Die beiden Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max eines der Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.
Aus dem Kongruenzsatz SsW können wir einen weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Kennt man die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.
Gegeben sind die drei Dreiecksseiten a = 5 cm; c = 4 cm und ⍺= 60º . Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selber an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.
Lernkontrolle
1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinen Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und miss die Winkel der Dreiecke! Als Unterstützung kannst du auch nochmal in die Einführung schauen.
a) a= 6,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=37º
b) a= 7,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=62º
2) Es soll ein Tunnel durch den Berg gebaut werden. Der Tunnel soll zwischen B und C gebaut werden. Zeichne die Daten in deinem Lernprotokoll maßstäblich nach und ermittle die Länge des Tunnels.
Merksatz
Übertrage die folgenden Sätze zum Kongruenzsatz SsW in dein Lernprotokoll:
(1) Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, so sind sie kongruent.
(2) Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberlegt, kennt, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.
Zusammenfassung
In diesem Kapitel hast du den Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel) kennengelernt. Du hast gelernt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und einem bestimmten Winkel übereinstimmen. Dabei ist besonders wichtig, dass der gegebene Winkel der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt.
Außerdem hast du erfahren, dass die Lage des Winkels bei diesem Kongruenzsatz eine entscheidende Rolle spielt. Anders als bei den zuvor kennengelernten Kongruenzsätzen führen zwei Seiten und ein beliebiger Winkel nicht immer zu genau einem Dreieck. Deshalb muss genau geprüft werden, ob die Voraussetzungen für den Kongruenzsatz SsW erfüllt sind.
Durch die Beispiele, Konstruktionen und Übungen konntest du nachvollziehen, warum der Kongruenzsatz SsW nur unter bestimmten Bedingungen angewendet werden kann. Sind diese Bedingungen erfüllt, lässt sich ein Dreieck eindeutig bestimmen und konstruieren.
Damit kennst du nun alle vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Sie helfen dir dabei, die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen und Dreiecke mit den gegebenen Angaben sicher zu konstruieren.
Im abschließenden Kapitel kannst du dein Wissen zu allen Kongruenzsätzen noch einmal anwenden, vergleichen und festigen.
