Arithmico/Arithmico Online-Anleitung/Stochastische Funktionen und Verteilungen

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12 Stochastische Funktionen und Verteilungen

12.1 Binomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

binco(n; k)

berechnet den Binomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ „n über k“

Beispiel 12.1.1 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})=15$

Eingabe: binco(6; 2)

Ausgabe: 15

12.2 Binomialverteilung $B(n;p;k)$

binom(n; p; k)

berechnet die Binomialverteilung $B(n;p;k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.2.1 $B(6;0,5;2)=P(X=2)=0,23438$

mit $n=6$,  $p=0,5$ und $k=2$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: binom(6; 0,5; 2)

Ausgabe: 0,23438

12.3 Kumulierte Binomialverteilung $F(n;p;k)$

cbinom(n; p; k)

berechnet die kumulierte Binomialverteilung $F(n;p;k)$ mit den Parametern
n = Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs,
p =Trefferwahrscheinlichkeit,
k = Trefferanzahl

Beispiel 12.3.1 $F(1000;0,45;421)=P(X<=421)=0,03481$

mit $n=1000$, $p=0,45$ und $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,03481

12.4 Kumulierte Binomialverteilung $1-F(n;p;k)$

Beispiel 12.4.1 $1-F(1000;0,45;421)=P(X>421)=0,96519$

mit $n=1000$ und $p=0,45$, $k=421$, $X$ binomialverteilt

Eingabe: 1 - cbinom(1000; 0,45; 421)

Ausgabe: 0,96519

12.5 Quantilsfunktion der kumulierten Binomialverteilung $F(n;p;k)$

qbinom(q; n; p)

berechnet zu einem gegebenen Quantil $q$ und einem gegebenen Wert $F(n;p;k)$ der kumulierten Binomialverteilung die kleinste Trefferanzahl $k=k_q$, für die $F(n;p;k)\ge q$ ist. Dabei ist $n$ die Anzahl der Stufen des mehrstufigen Zufallsversuchs und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

Erläuterung

Das Quantil $q$ teilt das Intervall $[0;1]$ in zwei Teilintervalle $[0;q[$ und $[q;1]$.
Entsprechend kann man die sortierte Liste $[0;1;2;...;n]$ aller k-Werte in zwei Teilbereiche $\{0;1;2;...;k_q-1\}$ und $\{k_q;k_q+1;...;n\}$
so aufteilen, dass für alle k-Werte aus dem rechten k-Bereich $\{k_q;k_q+1;...;n\}$ die entsprechenden $F(n;p;k)$-Werte im rechten Intervall $[q;1]$ liegen.
Die Arithmico-Funktion qbinom(q; n; p) berechnet die untere Grenze $k_q$ des rechten k-Bereichs $\{k_q;k_q+1,...;n\}$.

Beispiel 12.5.1 Quantil q gegeben, k_q gesucht

Gegeben sind eine Binomialverteilung mit $n=5$ und $p=0,4$ und das Quantil $q=90\mathrm{\%}$.
Gesucht ist $k_q$, die kleinste Zahl $k\in \{0;1;2;3;4;5\}$ , für die $F(5;0,4;k)\ge 90\mathrm{\%}$ ist.

Eingabe: qbinom(0,9; 5; 0,4)

Ausgabe: 3

Ergebnis

$k_q=3$ ist der kleinste aller k-Werte, für die $F(5;0,4;K)\ge 0,9$ ist.

Probe

Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man sich eine Liste sämtlicher $F(n;p;k)$-Werte für alle $k$ von 0 bis 5 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(5; 0,4; k); 0; 5)

Ausgabe: [[0; 0,078]; [1; 0,337]; [2; 0,683]; [3; 0,913]; [4; 0,99]; [5; 1]]

In der Liste erkennt man, dass $k_q=3$ der kleinste k-Wert ist, für den die $F(n;p;k)$-Werte oberhalb der Schwelle $q=0,9$ liegen.

Beispiel 12.5.2 Linksseitiger Hypothesentest, kritische Zahl $K$ gesucht

Bei einem linksseitigen Hypothesentest mit der Nullhypothese $H_0:p=p_0$, der Gegenhypothese $H_1:p<p_0$, einem Stichprobenumfang $n$ und Signifikanzniveau $\alpha$ wird die obere Grenze $K$ des Verwerfungsbereichs $V_0=\{0;1;2;...;K\}$ von $H_0$ gesucht.
$K$ ist so zu bestimmen, dass die Bedingung $P(X\le K)\le \alpha$ erfüllt ist. Dabei kann $P(X\le K)$ direkt mithilfe der kumulierten Binomialverteilung $F(n;p;k)$ berechnet werden.
Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=\alpha$ und $p=p_0$ den Wert $k_q=K+1$. Um die kritische Zahl $K$ zu erhalten, muss also der von qbinom(α; n; p0) ausgegebene Wert $k_q$um 1 reduziert werden.

Beispiel

$n=100$, $p_0=10\mathrm{\%}$, $\alpha =5\mathrm{\%}$, $H_1:p<10\mathrm{\%}$

Eingabe: qbinom(0,05; 100; 0,1)

Ausgabe: 5

Ergebnis

$K+1=5$, also $K=4$

Probe

Mit dem table-Befehl und cbinom(n; p; k) kann man eine Liste sämtlicher $F(n;p;k)$-Werte für k von 2 bis 6 ausgeben lassen:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,1; k); 2; 6)

Ausgabe: [[2; 0,002]; [3; 0,008]; [4; 0,024]; [5; 0,058]; [6; 0,117]]

In der Liste erkennt man, dass bis zu dem k-Wert $K=4$ die $F(n;p;k)$-Werte unterhalb des Signifikanzniveaus $\alpha =5\mathrm{\%}$ liegen, also die Bedingung $F(n;p;k)=P(X\le K)\le \alpha$ erfüllt ist.

Beispiel 12.5.3 Rechtsseitiger Hypothesentest, kritische Zahl $K$ gesucht

Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest mit der Nullhypothese $H_0:p=p_0$, der Gegenhypothese $H_1:p>p_0$, einem Stichprobenumfang $n$ und Signifikanzniveau $\alpha$ wird die untere Grenze $K$ des Verwerfungsbereichs $V_0=\{K;K+1;K+2;...;n\}$ von $H_0$ gesucht.
$K$ ist so zu bestimmen, dass die Bedingung $P(X\ge K)\le \alpha$ erfüllt ist.

Durch Äquivalenzumformungen erhält man aus der Bedingung $P(X\ge K)\le \alpha$ eine äquivalente $F(n;p;k)$-Aussage:

      $P(X\ge K)\le \alpha$

$\iff 1-P(X<K)\le \alpha$

$\iff 1-P(X\le K-1)\le \alpha$

$\iff 1-F(n;p;K-1)\le \alpha$

$\iff F(n;p;K-1)\ge 1-\alpha$

Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=1-\alpha$ und $p=p_0$ den Wert $k_q=K-1$. Um die kritische Zahl $K$ zu erhalten, muss also der von qbinom(α; n; p0) ausgegebene Wert $k_q$ um 1 erhöht werden.

Beispiel

$n=100$, $p_0=90\mathrm{\%}$, $\alpha =5\mathrm{\%}$, $H_1:p>90\mathrm{\%}$
K soll so bestimmt werden, dass die Bedingung $P(X\ge K)=F(100;0,9;K-1)\ge 0,95$ erfüllt ist. Die Quantils-Funktion qbinom(q; n; p) liefert mit den Parametern $q=0,95$ und $p=0,9$ den Wert $k_q=95$:

Eingabe: qbinom(0,95; 100; 0,9)

Ausgabe: 95

Ergebnis

$K-1=95$, also ist $K=96$.

Probe

Das Ergebnis kann mit dem table- und dem cbinom-Befehl überprüft werden, indem man alle Werte der Funktion $F(n;p;k-1)$ für $k$ von 93 bis 97 in einer Liste ausgeben lässt:

Eingabe: table(k -> cbinom(100; 0,9; k); 93; 97)

Ausgabe: [[93; 0,883]; [94; 0,942]; [95; 0,976]; [96; 0,992]; [97; 0,998]]

In der Liste erkennt man, dass ab dem k-Wert 95 die $F(n;p;k)$-Werte oberhalb der Schwelle $1-\alpha =0,95$ liegen. Die Bedingung $F(100;0,9;K-1)\ge 0,95$ ist also ab $K-1=95$ erfüllt. Somit ist $K=96$.

12.6 Gauß'sche Dichtefunktion (Normalverteilung)

normal(x; expectation?; sd?)

berechnet den Funktionswert der gaußschen Normalverteilung mit dem Erwartungswert $expectation$ und der Standardabweichung $sd$ an der Stelle $x$. Der Vorgabewert für $expectation$ ist 0 und für $sd$ 1 (Standardnormalverteilung).

Beispiel 12.6.1 $\phi (0)$ mit der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Berechne für die Standardnormalverteilung mit $E(X)=0$ und $\sigma (X)=1$ den Funktionswert $\phi (0)$ mithilfe der Definition der Dichtefunktion $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-0,5\cdot x^2}$

Eingabe: phi(x):=1/ sqrt(2*pi) *e^(-0,5*x^2)

Ausgabe: (x: any) → 1 / sqrt(2 * pi) * e^(-0,5 * x^2)

Eingabe: phi(0)

Ausgabe: 0,39894

Bespiel 12.6.2 $\phi (0)$ mit Arithmico-Befehl normal(x) (Standardnormalverteilung)

Eingabe: normal(0)

Ausgabe: 0,39894

12.7 Gauß'sche Integralfunktion $\mathrm{\Phi }(z)$ (Kumulierte Standardnormalverteilung)

cnormal(z; expectation?; sd?)

berechnet den Wert der kumulierten gaußschen Normalverteilung (Verteilungsfunktion der Normalverteilung) mit dem Erwartungswert $expectation$ und der Standardabweichung $sd$ an der Stelle $z$. Der Vorgabewert für $expectation$ ist 0 und für $sd$ ist er 1.
Für die kumulierte Standardnormalverteilung gilt: $\mathrm{\Phi }(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\phi (t)dt$ mit $\phi (t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-0,5\cdot t^2}$.

Beispiel 12.7.1 $\mathrm{\Phi }(0,5)=0,69146$

Eingabe: cnormal(0,5)

Ausgabe: 0,69146

12.8 Quantilsfunktion der Gauß'schen Integralfunktion $\mathrm{\Phi }(z)$ (Kumulierte Normalverteilung)

qnormal(q; expectation?; sd?)

berechnet zum gegebenen Quantil $q$ die Stelle $z$, für die der Funktionswert der kumulierten Normalverteilung $\mathrm{\Phi }(z)=q$ ist. Der Vorgabewert für $expectation$ ist 0 und für $sd$ ist er 1.

Beispiel 12.8.1 Für welchen Wert $z$ ist $\mathrm{\Phi }(z)=0,69146$ ?

Eingabe: qnormal(0,69146)

Ausgabe: 0,49999

12.9 Gauß'sche Fehlerfunktion $erf(x)$

erf(x)

berechnet die Werte der Gaußschen Fehlerfunktion

Beispiel 12.9.1 $erf(0,45)=0,47548$

Eingabe: erf(0,45)

Ausgabe: 0,47548

12.10 Arithmetischer Mittelwert

avg(x)

berechnet den arithmetischen Mittelwert $\bar{x}$ einer Werteliste.

Beispiel 12.10.1 Das arithmetische Mittel der Werte 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12 ist $\bar{x}=6$

Berechne das arithmetische Mittel der Werte 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also $\bar{x}=\frac{1+3+5+9+12}{5}=\frac{30}{5}=6$.

Eingabe: avg(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 6

12.11 Varianz einer Stichprobe

var(x)

berechnet die Stichprobenvarianz ${\sigma }^2$ einer Werteliste.

Beispiel 12.11.1 Die die Varianz der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12 ist ${\sigma }^2=16$

Berechne die Varianz ${\sigma }^2$ der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also ${\sigma }^2=\frac{(1-6{)}^2+(3-6{)}^2+(5-6{)}^2+(9-6{)}^2+(12-6{)}^2}{5}=\frac{25+9+1+9+36}{5}=\frac{80}{5}=16$

Eingabe: var(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 16

12.12 Standardabweichung

sd(x)

berechnet die Standardabweichung $\sigma$ einer Werteliste.

Beispiel 12.12.1 Die Standardabweichung der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12 ist $\sigma =4$

Berechne die Standardabweichung $\sigma$ der Liste 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 12, also $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=\sqrt{16}=4$

Eingabe: sd(1;3;5;9;12)

Ausgabe: 4  

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