Benutzer:Enrico und Yannick/Kongurenzsatz WSW

Lernpfad

Benutzer:Enrico und Yannick/Kongurenzsatz WSW

In den vorherigen Kapiteln hast du bereits verschiedene Kongruenzsätze kennengelernt. Dabei hast du gesehen, dass sich ein Dreieck eindeutig bestimmen lässt, wenn bestimmte Seiten und Winkel bekannt sind.

Doch müssen immer mehrere Seiten gegeben sein, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren? Oder reichen vielleicht auch zwei Winkel und eine Seite aus?

Mit dieser Frage beschäftigt sich der Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel). In diesem Kapitel wirst du untersuchen, wie zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen die Form und Größe eines Dreiecks eindeutig festlegen können.

Anhand von Beispielen, Konstruktionen und Übungen lernst du den Kongruenzsatz WSW kennen und erfährst, warum bereits diese drei Angaben ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Dabei wirst du auch entdecken, dass sich der dritte Winkel eines Dreiecks immer berechnen lässt, wenn die beiden anderen Winkel bekannt sind.

Halte wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll fest und bearbeite die Aufgaben sorgfältig. Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind und wie man ein Dreieck mithilfe von zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite eindeutig konstruiert.

Einführung

Zwei Dreiecke werden als kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke zwei gleich große Winkel besitzen und die Seite zwischen diesen Winkeln gleich lang ist. Dabei ist es völlig egal, wie die Dreiecke angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel).

Beispiel:

Gegeben sind drei Dreiecke mit zwei gleich großen Winkeln und der dazwischenliegenden Seite. Max behauptet, dass alle drei Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen. Tom ist skeptisch. Die drei Dreiecke sehen unterschiedlich aus und sind verschieden angeordnet. Indem Max die Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Eine kleine Übung dazu:

Mit deinem Wissen über den Kongruenzsatz SSS solltest du die fehlenden Seitenlängen der Dreiecke problemlos ergänzen können!

Merke

Zwei Dreiecke sind Kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen

Aus dem Kongruenzsatz WSW können wir noch eine weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Hat man die Maße von zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Gegeben sind die Winkel α = 50°, β = 70° und die Seite c = 5 cm. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selbst an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Mit den Maßen von zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Lernkontrolle

Hier findest du einige Übungen die du mit deinem Wissen zu dem Kongruenzsat WSW problemlos erledigen kannst!

Übung

Konstruiere das Dreieck ABC in deinem Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und bestimme anschließend den dritten Winkel.

a) α = 40°; β = 70°; c = 6 cm

b) α = 55°; β = 65°; c = 5 cm

Kongruenzsatz SWS

Kongruenzsatz SsW