Benutzer:Enrico und Yannick/ Probe Seite

Wiederholung

Bevor wir in das Thema Kongruenzsätze einsteigen, aktivieren wir zunächst unser Vorwissen. In diesem Kapitel wiederholst du wichtige Grundlagen rund um Winkel und Dreiecke. Nutze die Aufgaben, um dein Wissen aufzufrischen und mögliche Wissenslücken zu schließen. So bist du bestens auf die kommenden Inhalte vorbereitet.

Winkelarten

Bevor wir uns mit Dreiecken und Kongruenzsätzen beschäftigen, wiederholen wir die wichtigsten Winkelarten. 🔍 Betrachte das Schaubild genau.

• Welche Winkelarten kennst du bereits?
• Welche Winkel haben eine feste Größe?
• Welche Winkel werden durch einen Winkelbereich beschrieben?

Merke dir die Namen und Eigenschaften der einzelnen Winkelarten. Dieses Wissen hilft dir später dabei, Dreiecke nach ihren Winkeln zu klassifizieren und geometrische Zusammenhänge zu erkennen.

Dreiecksarten

Man kann Dreiecke nach der Größe ihrer Innenwinkel einteilen. Demnach gibt es 5 verschiedene Grundlegende Dreiecksarten. Diese sind dir bestimmt schon bekannt. Wir wiederholen ihre Eigenschaften hier kurz, da die Dreiecksarten für die Kongruenzsätze wichtig sind.

Ordne den Dreieckstypen das richtige Bild zu!

Merke

• Alle drei Winkel sind kleiner als 90º -> es handelt sich um ein spitzwinkliges Dreieck!
• Ein Winkel ist 90º groß -> es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck!
• Ein Winkel ist größer als 90º -> es handelt sich um ein stumpfwinkliges Dreieck!
• Zwei Basiswinkel sind gleich groß; zwei Seiten sind gleich lang -> es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck!
• Jeder Winkel ist 60º groß, alle Seiten sind gleich lang -> es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck!

Kongruenzsätze

Was ist Kongruenz ?

Wenn man Figuren übereinanderlegen kann sodass sie genau aufeinander passen, nennt man sie kongruent (deckungsgleich). Bei kongruenten Figuren stimmen die Winkel und Längen überein. Um zu überprüfen ob zwei Figuren kongruent sind, müssen wir uns also die Winkel und Seiten der Figuren ganz genau ansehen. Da kongruente Figuren in ihren Seiten und Winkelgrößen übereinstimmen, haben sie übrigens auch den selben Flächeninhalt.

Durch Spiegelung, Drehung oder Verschiebung kann die Kongruenz gut sichtbar gemacht werden. Das möchte ich dir nun an einem Beispiel zeigen:

Übung

Jetzt musst du dein Lernprotokoll zur Hand nehmen. Unter dem Kapitel "Was ist Kongruenz?" findest du dort zwei Dreiecke. Diese sollst du dir mithilfe der folgenden Aufgabe genauer anschauen!

Kongruenzsatz WSW

Einführung

Zwei Dreiecke werden als kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Winkeln und der Seite zwischen diesen Winkeln übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke zwei gleich große Winkel besitzen und die Seite zwischen diesen Winkeln gleich lang ist. Dabei ist es völlig egal, wie die Dreiecke angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel).

Beispiel:

Gegeben sind drei Dreiecke mit den Winkeln α = 50°, β = 70° und der Seite c = 5 cm. Max behauptet, dass alle drei Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite übereinstimmen. Tom ist skeptisch. Die drei Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max die Dreiecke dreht, spiegelt und verschiebt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Kongruenzsatz SWS

Einführung

Zwei Dreiecke werden als kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke zwei gleich lange Seiten besitzen und der Winkel zwischen diesen Seiten gleich groß ist. Dabei ist es völlig egal, wie die Dreiecke angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite).

Beispiel:

Gegeben sind drei Dreiecke mit den Seitenlängen b = 1 cm und c = 1,5 cm sowie dem Winkel α = 60°. Max behauptet, dass alle drei Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Tom ist skeptisch. Die drei Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max die Dreiecke dreht, spiegelt und verschiebt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Eine kleine Übung dazu:

Mit deinem Wissen über den Kongurenzsatz SWS solltest du die fehlenden Seitenlängen Größen der Dreiecke Problemlos ergänzen können!

Merke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen!

Aus dem Kongruenzsatz SWS können wir noch etwas Weiteres über Dreiecke lernen! Hat man die Maße von zwei Seiten und dem zwischen diesen Seiten liegenden Winkel eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Gegeben sind die Dreiecksseiten b = 1 cm, c = 1,5 cm und der Winkel α = 60°. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selbst an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Mit den Maßen von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Lernkontrolle

Hier findest du einige Übungen, die du mit deinem Wissen zum Kongruenzsatz SWS problemlos erledigen kannst!

Übung

1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinem Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und berechne anschließend die fehlende Seite a!

a) b = 4 cm; c = 6 cm; α = 50°

b) b = 5 cm; c = 7 cm; α = 60°

Merksatz

Übertrage die folgenden Sätze zum Kongurenzsatz SWS in dein Lernprotokoll

Merke

(1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, welcher von den beiden Seiten eingeschlossen wird übereinstimmen.

(2) Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der zwei Seiten kennt, kann man das Dreieck eindeutig konstruieren

Kongruenzsatz SSS

Einführung

Zwei Dreiecke werden als Kongruent bezeichnet, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke in ihren Seitenlängen übereinstimmen. Dabei ist es völlig egal, wie die Seiten angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier die drei Seiten des Dreiecks betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite).

Beispiel:

Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a= 3 cm; b= 2 cm und c= 4 cm. Max behauptet, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, da sie drei übereinstimmende Seiten haben. Tom ist skeptisch. Die beiden Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max eines der Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Eine kleine Übung dazu:

Mit deinem Wissen über den Kongruenzsatz SSS solltest du die fehlenden Seitenlängen der Dreiecke problemlos ergänzen können!

Merke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen!

Aus dem Kongruenzsatz SSS können wir einen weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Hat man die Maße von drei Seiten eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren. Dafür allerdings muss jede Seite kürzer sein als die anderen beiden Seiten zusammen.

Gegeben sind die drei Dreiecksseiten a = 3 cm; b = 4 cm und c = 6 cm. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selber an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Mit den Maßen von drei Seiten kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn jede Seite kürzer ist als die anderen beiden Seiten zusammen.

Lernkontrolle

Hier findest du einige Übungen die du mit deinem Wissen zu dem Kongruenzsat SSS problemlos erledigen kannst!

Übung

1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinen Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und miss die Winkel der Dreiecke!

a) a= 4,5 cm; b= 7 cm; c= 6 cm

b) a= 5,8 cm; b= 4,6 cm; c= 8,2 cm

2) Jetzt kannst du dein Wissen über den Kongruenzsatz SSS anwenden. Welche Dreiecke sind eindeutig konstruierter?

3) Hier musst du die Dreiecksseiten nun selbst nennen!

Merksatz

Übertrage die folgenden Sätze zum Kongruenzsatz SSS in dein Lernprotokoll:

Merke

(1) Nach dem Kongruenzsatz SSS sind zwei Dreiecke immer dann kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen!

(2) Mit den Maßen von drei Seiten kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn jede Seite kürzer ist als die anderen beiden Seiten zusammen!

Kongruenzsatz SsW

Einführung

Zwei Dreiecke werden als Kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier die lange Seite (S), die kurze Seite (s) und den Winkel (W) betrachtet, nennt man diesen Kongruenzsatz SsW.

Beispiel:

Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a= 3 cm; b= 2 cm und dem Winkel Alpha= 70º. Max behauptet, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Seiten übereinstimmen. Außerdem liegen die übereinstimmenden Winkel den längeren Seiten gegenüber. Tom ist skeptisch. Die beiden Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max eines der Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Merke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

Aus dem Kongruenzsatz SsW können wir einen weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Kennt man die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.

Gegeben sind die drei Dreiecksseiten a = 5 cm; c = 4 cm und ⍺= 60º . Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selber an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberlegt, kennt, kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.

Lernkontrolle

Übung

1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinen Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und miss die Winkel der Dreiecke! Als Unterstützung kannst du auch nochmal in die Einführung schauen.

a) a= 6,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=37º

b) a= 7,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=62º

Übung

2) Es soll ein Tunnel durch den Berg gebaut werden. Der Tunnel soll zwischen B und C gebaut werden. Zeichne die Daten in deinem Lernprotokoll maßstäblich nach und ermittle die Länge des Tunnels.

Merksatz

Übertrage die folgenden Sätze zum Kongruenzsatz SsW in dein Lernprotokoll:

Merke

(1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

(2) Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberlegt, kennt, kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.