Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SSS
Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SSS
Vielleicht hast du dich bereits gefragt, welche Informationen man über ein Dreieck kennen muss, um es eindeutig beschreiben oder konstruieren zu können. Reichen die Längen der drei Seiten aus? Oder könnten trotz gleicher Seitenlängen verschiedene Dreiecke entstehen?
Genau mit diesen Fragen beschäftigt sich der Kongruenzsatz SSS. In diesem Kapitel wirst du untersuchen, welche Rolle die Seitenlängen eines Dreiecks spielen und warum drei gegebene Seiten ein Dreieck eindeutig festlegen können.
Dazu erwarten dich Erklärungen, Beispiele, Konstruktionsaufgaben und Übungen. Notiere wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll und bearbeite die Aufgaben sorgfältig.
Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent sind und wie man ein Dreieck allein mit den Längen seiner drei Seiten eindeutig konstruiert.
Einführung
Zwei Dreiecke werden als Kongruent bezeichnet, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke in ihren Seitenlängen übereinstimmen. Dabei ist es völlig egal, wie die Seiten angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier die drei Seiten des Dreiecks betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite).
Beispiel:
Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a= 3 cm; b= 2 cm und c= 4 cm. Max behauptet, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, da sie drei übereinstimmende Seiten haben. Tom ist skeptisch. Die beiden Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max eines der Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.
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Eine kleine Übung dazu:
Mit deinem Wissen über den Kongruenzsatz SSS solltest du die fehlenden Seitenlängen der Dreiecke problemlos ergänzen können!
Aus dem Kongruenzsatz SSS können wir einen weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Hat man die Maße von drei Seiten eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren. Dafür allerdings muss jede Seite kürzer sein als die anderen beiden Seiten zusammen.
Gegeben sind die drei Dreiecksseiten a = 3 cm; b = 4 cm und c = 6 cm. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selber an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.
Lernkontrolle
Hier findest du einige Übungen die du mit deinem Wissen zu dem Kongruenzsat SSS problemlos erledigen kannst!
1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinen Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und miss die Winkel der Dreiecke!
a) a= 4,5 cm; b= 7 cm; c= 6 cm
b) a= 5,8 cm; b= 4,6 cm; c= 8,2 cm
2) Jetzt kannst du dein Wissen über den Kongruenzsatz SSS anwenden. Welche Dreiecke sind eindeutig konstruierter?
3) Hier musst du die Dreiecksseiten nun selbst nennen!
Merksatz
Übertrage die folgenden Sätze zum Kongruenzsatz SSS in dein Lernprotokoll:
(1) Wenn zwei Dreiecke in drei Seiten übereinstimmen, so sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent!
(2) Mit den Maßen von drei Seiten kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren. Hierfür muss jede Seite kürzer sein als die anderen beiden Seiten zusammen!
Zusammenfassung
In diesem Kapitel hast du den Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) kennengelernt. Du hast gelernt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn ihre drei Seitenlängen übereinstimmen. In diesem Fall besitzen die Dreiecke nicht nur die gleichen Seitenlängen, sondern auch die gleiche Form und Größe.
Außerdem hast du erfahren, dass sich ein Dreieck eindeutig konstruieren lässt, wenn die Längen aller drei Seiten bekannt sind. Dabei muss jede Seite kürzer sein als die Summe der beiden anderen Seiten. Nur dann kann ein Dreieck entstehen.
Durch die Beispiele, Konstruktionen und Übungen konntest du nachvollziehen, warum drei gegebene Seiten ein Dreieck eindeutig festlegen. Der Kongruenzsatz SSS hilft uns deshalb dabei, die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen und Dreiecke sicher zu konstruieren.
Im nächsten Kapitel lernst du einen weiteren Kongruenzsatz kennen. Dort wirst du untersuchen, ob auch weniger als drei Seiten ausreichen können, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.
