Benutzer:Chiara Brandstetter/Gleichungssysteme

Gleichungssysteme

Willkommen beim Lernpfad „Lineare Gleichungssysteme entdecken“!

Du stehst vor einer Klausur mit der Thematik „Gleichungssysteme“? Keine Panik, in diesem Lernmodul kannst du alle wichtigen Inhalte rund um das Thema Gleichungssysteme wiederholen, so dass du perfekt auf die Klausur vorbereitet bist.

Bearbeite die Seiten möglichst in der gegebenen Reihenfolge. Notiere deine Ergebnisse und Erkenntnisse in deinem Heft oder im digitalen Lernpfad.

Verfahren

Wie du gerade gesehen hast, können alltägliche Situationen in mathematische Gleichungen umgeschrieben werden. Die Frage, die sich nun stellt ist, wie du die Gleichungen sinnvoll lösen kannst. Im Folgenden wirst du die wichtigsten Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems kennenlernen.

Rechnerisches Lösen

Wie du gesehen hast, kannst du auch graphisch die Lösung von Gleichungssystemen bestimmen. Allerdings kann dies bei sehr großen Zahlen schwierig und sehr zeitaufwendig werden. Daher ist es wichtig, Gleichungssysteme auch rechnerisch lösen zu können. Im Folgenden werden wir das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren besprechen.

Additionsverfahren

Merke

Das Additionsverfahren ist eine mathematische Methode, um Gleichungssysteme mit zwei oder mehr Variablen zu lösen.

Die Grundidee ist, eine Gleichung so zu multiplizieren, dass man sie zu der anderen Gleichung addieren (oder substrahieren) kann. So fällt eine Varibale zunächst weg und die Gleichung kann leichter gelöst werden.

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren formst du die gegebenen Gleichungen so um, dass jeweils dieselbe Variable allein auf einer Seite steht. Anschließend setzt du die Terme gleich, da sie demselben Wert beschreiben. So erhältst du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die du leicht lösen kannst. Das Ergebnis setzt du daraufhin in eine Gleichung vom Anfang ein, um die zweite Variable zu bestimmen.

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn sich die Gleichungen schnell nach derselben Variable umformen lassen.

Üben

Löse die Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren.

1. y = 2x + 3 und y = -x + 9

2. y = 4x - 1 und y = x + 8

3. x = 3y - 6 und x = -y + 10

4. y = -2x + 7 und y = 5x - 8

5. x = 2y + 4 und x = 6 - y

1. x = 2, y = 7

2. x = 3, y = 11

3. x = 1, y = 7/3

4. x = 3/7, y = 43/7

5. x = 16/3, y = 4/3

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren formst du zuerst eine der beiden Gleichungen so um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht. Diesen Term setzt du dann in eine Gleichung vom Anfang ein, wodurch eine Gleichung mit nur einer Unbekannten entsteht. Diese kannst du leicht lösen. Anschließend setzt du den gefundenen Wert wieder in eine der Ausgangsgleichungen ein, um die zweite Variable zu berechnen.

Das Einsetzungsverfahren ist praktisch, wenn eine Gleichung schon gut nach einer Variablen aufgelöst ist.

Wiederholung

Du hast nun alle relevanten Themen aufgefrischt. Im Folgenden kannst du alles Gelernte nochmal wiederholen und überlegen, wo du noch Schwierigkeiten hast.