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Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

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Lernschritt Parabeln und Geraden
  • In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.
  • Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.
  • Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die Steigung einer Parabel in einem Punkt definieren und berechnen kann.

1. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkte von Parabel und Gerade
QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel g(x)=x2−4x und Gerade h(x)=2x−5
QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel f(x)=x2−6x+5

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel g(x)=x2−4x (als durchgezogene Linie) und die Gerade h(x)=2x−5 (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten S1(1|−3) und S2(5|5) schneiden.

  1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
  2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel f(x)=x2−6x+5 (QF05 Abbildung 1)?
Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
g(x)=h(x)
⇔x2−4x=2x−5    | −2x+5
⇔x2−6x+5=0    | pq-Formel anwenden
⇒x1=1 und x2=5
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung h(x), um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in g(x) zur Kontrolle):
h(1)=2⋅1−5=−3
g(1)=12−4⋅1=−3
h(5)=2⋅5−5=5
g(5)=52−4⋅5=5
Schnittpunkte von g und h: S1(1|−3) und S2(5|5)

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von g und h führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von f(x)=x2−6x+5 zu lösen ist. Die Schnittstellen von g und h sind also die Nullstellen der Parabel f.


2. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkt von Parabel und Tangente
QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel g(x)=x2−4x und Gerade t(x)=2x−9
QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel f(x)=(x−3)2

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel g(x)=x2−4x (als durchgezogene Linie) und die Gerade t(x)=2x−9 (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt S(3|−3) berühren, die Gerade t also eine Tangente der Parabel ist.

  1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden t tatsächlich um eine Tangente an die Parabel g handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten S(3|−3) besitzt.
  2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel f(x)=x2−6x+9 (QF08 Abbildung 3)?
Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
g(x)=t(x)
⇔x2−4x=2x−9    | −2x+9
⇔x2−6x+9=0    | 2. binomische Formel anwenden
⇔(x−3)2=0    | (doppelte) Nullstelle ablesen
⇒x1=x2=3
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung t(x), um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in g(x) zur Kontrolle):
t(3)=−2⋅3−9=−3
g(3)=32−4⋅3=−3
Berührpunkt von g und t: S(3|−3)

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von g und t führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von f(x)=x2−6x+9=(x−3)2 zu lösen ist. Die Berührstelle von g und t ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel f.


3. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte berechnen

Gegeben sind eine quadratische Funktion f und eine lineare Funktion g. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

  1. f(x)=x2 ;    g(x)=x+2
  2. f(x)=x2−3x+9 ;    g(x)=2x+3
  3. f(x)=0,5x2−1,5x−1,5 ;    g(x)=0,5x−3
  4. f(x)=2x2+2x+1 ;    g(x)=−2x−1
  5. f(x)=−0,5x2+6x ;    g(x)=0,5x+12
  1. S1(−1|1)) ;    S2(2|4)
  2. S1(2|7)  ;    S2(3|9)
  3. S1(1|−2,5) ;    S2(3|−1,5)
  4. S(−1|1)
  5. S1(3|13,5)  ;    S2(8|16)

4. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen f und g. Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

  1. f(x)=0,5x2−1,5x−1,5 ;    g(x)=−0,5x2−x+1,5
  2. f(x)=x2−5x+9 ;    g(x)=2x2−x−12
  3. f(x)=2x2 ;    g(x)=−4x2
  1. S1(−1,5|1,875)) ;    S2(2|−2,5)
  2. S1(−7|93)  ;    S2(3|3)
  3. S(0|0)

Der Parabelrechner

Mithilfe einer Normalparabel kann man beliebige Zahlen "graphisch multipliziert". Wie das praktisch geht, wird hier an einem sehr einfachen Beispiel erklärt. Aber eine rechnerische Begründung dafür zu finden, warum es tatsächlich immer funktioniert, das ist anschließend deine Aufgabe.

In unserem Beispiel sollen die beiden Zahlen 2 und 3 multipliziert werden. Da die Zahlen recht klein sind, reicht dafür die Normalparabel in der Abbildung QF01 Normalparabel Arial24.pfd aus. Für die Multiplikation größerer Zahlen benötigt man eine größere Normalparabel. Eine solche hängt z.B. im Mathematikum in Gießen als Exponat an der Wand. Eine Beschreibung dieses Parabelrechners findet man auch auf der Seite der Mathotek Der Parabelrechner - Er ist keine Konkurrenz für den Taschenrechner

QF08 Parabelrechner Arial24.pdf
Beispiel - Wie multipliziert man mit dem Parabelrechner?
Um beispielsweise die Zahlen u=2 und v=3 mit der Normalparabel graphisch zu multiplizieren, geht man zunächst im Koordinatensystem vom Ursprung aus um u=2 Einheiten nach links, also zum Punkt (−2|0) und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt U(−2|4) auf die Normalparabel trifft. Anschließend geht man vom Ursprung aus um v=3 Einheiten nach rechts, also zum Punkt (3|0) und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt V(3|9) auf die Normalparabel trifft. Nun zeichnet man die Strecke UV‾. In der Abbildung kann man nun ablesen, dass diese Strecke UV‾ die y-Achse im Punkt P(0|6) schneidet. Die y-Koordinate 6 dieses Schnittpunktes ist das Produkt der beiden Ausgangszahlen u und v, denn es ist u⋅v=2⋅3=6

Es stellt sich die Frage: Warum und wie funktioniert dieser Parabelrechner eigentlich? Das soll in den nächsten beiden Aufgaben untersucht werden - erst am Beispiel u=2 und v=3 und dann anschließend für beliebige Faktoren u und v.

5. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Begründung am Beispiel

Begründe rechnerisch für die Zahlen u=2 und v=3, dass die Gerade durch die Parabelpunkte U(−2|(−2)2) und V(3|32) die y-Achse im Punkt (0|u⋅v)=(0|6) schneidet.

Man stellt die Gleichung der Geraden g(x)=m⋅x+b auf, die durch die Punkte U(−2|(−2)2) und V(3|32) geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor m und anschließend den y-Achsenabschnitt b.

m=32−(−2)23−(−2)=9−43+2=55=1

Um b zu berechnen, kann man m=1 und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. V(3|9)) in die Geradengleichung g(x)=m⋅x+b einsetzen:

g(3)=1⋅3+b=9
⇔b=6=2⋅3

6. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Beweis allgemein

Begründe rechnerisch für beliebige Zahlen u,v∈ℝ ganz allgemein, dass die Gerade durch die Parabelpunkte U(−u|(−u)2) und V(v|v2) die y-Achse im Punkt (0|u⋅v) schneidet.


Man stellt die Gleichung der Geraden g(x)=m⋅x+b auf, die durch die Punkte U(−u|(−u)2) und V(v|v2) geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor m und anschließend den y-Achsenabschnitt b in Abhängigkeit von u und v.

m=v2−(−u)2v−(−u)=v2−u2v+u
=(v+u)⋅(v−u)v+u=v−u

Um b zu berechnen, kann man m=v−u und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. V(v|v2)) in die Geradengleichung g(x)=m⋅x+b einsetzen:

g(v)=(v−u)⋅v+b=v2
⇔v2−u⋅v+b=v2
⇔b=u⋅v


Steigung einer Parabel

Eine Gerade mit der Funktionsgleichung g(x)=mx+n besitzt in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor m, ist also überall "gleich steil". Eine Normalparabel wird dagegen immer steiler, je weiter man sich auf ihr vom Scheitelpunkt entfernt. (Siehe dazu auch QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe.) Bei ihr ändert sich die Steigung sogar kontinuierlich von Punkt zu Punkt.

Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der Differentialrechnung ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form f(x)=ax2 geht das aber auch ohne Differentialrechnung mithilfe der pq-Formel.

Parabelsteigung als Tangentensteigung
  • Für einen gekrümmten Graphen - wie z.B. eine Parabel - definiert man die Steigung in einem bestimmten Punkt T als "Steigung der Tangente in diesem Punkt".
  • Bei einer Parabel f(x)=ax2 mit a=0 besitzt die Tangente im Punkt T(xt|axt2) die Funktionsgleichung t(x)=2axt⋅x−axt2.
  • Die Steigung der Parabel im Punkt T ist dementsprechend m=2axt.

In der folgenden Aufgabe geht es darum, die Tangentengleichung einer Parabel herzuleiten und anzuwenden.

7. Aufgabe (Begründen) - Parabel und Tangentengleichung
  1. Gegeben ist die Gerade t(x)=mx+n, die Parabel f(x)=ax2 mit a=0 im Punkt T(xt|yt) als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Funktionsgleichung t(x)=2axt⋅x−axt2 besitzt.
  2. Bestimme mithilfe dieser Tangentengleichung die Gleichung derjenigen Tangente t1, die die Normalparabel im Punkt T1(1|1) als Tangente berührt.
    Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel g(x)=x2−4x aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel f(x)=x2 verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente t(x)=2x−9 und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet.
  3. Berechne die Steigung der Normalparabel in den Punkten T2(2|4) und T−2(−2|4).
Durch Gleichsetzen der Funktionsterme f(x)=ax2 und t(x)=mx+n entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?

Lösung zu 1.

Gegeben: f(x)=ax2   und   t(x)=mx+n
Ansatz: f(x)=t(x)

ax2=mx+n
⇔ax2−mx−n=0     | durch a dividieren, um pq-Formel anwenden zu können
⇔x2−ma⋅x−na=0

Für die x-Koordinate des Berührpunktes liefert die pq-Formel genau eine Lösung. Dabei ist die Diskriminante D=0.
xt=−12⋅(−ma)±0
⇒xt=m2a
⇒m=2axt

Für die x-Koordinate des Berührpunktes gilt:
t(xt)=f(xt)
⇔m⋅xt+n=axt2
⇔2axt2+n=axt2
⇒n=−axt2

Gleichung der Tangente t im Punkt T(xt|yt):

t(x)=2axt⋅x−axt2

Lösung zu 2.

Für xt=1 und a=1 gilt:
m=2⋅1⋅1=2
n=−1⋅12=−1
t1(x)=2x−1

Oder mit Verschiebung:

g(x)=x2−4x aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln:
g(x)=x2−4x+4−4
=(x−2)2−4
Scheitelpunkt von g   :   Sg(2|−4)

Verschiebung "zurück" zur Normalparabel: um 2 nach links und 4 nach oben:
f(x)=g(x−2)+4 =(x+2)2−4(x+2)+4 =x2+4x+4−4x−8+4 =x2

Diese Verschiebung auf die Tangente t(x)=2x−9 und den Berührpunkt T(3|−3) aus der 2. Aufgabe anwenden:

t1(x)=t(x+2)+4 =2(x+2)−9+4 =2x+4−5 =2x−1
T1(3−2|−3+4)=T1(1|1)

Lösung zu 3.

Steigung der Normalparabel im Punkt T2(2|4):  m=2⋅1⋅2=4

Steigung der Normalparabel im Punkt T−2(2|4):  m=2⋅1⋅(−2)=−4

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Ergebnisse der 5. und 6. Aufgabe überprüfen. Man kann mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler xt verändern.

GeoGebra


8. Aufgabe (Erkunden) - Parabelgleichung ermitteln

Die Parabel f(x)=ax2+1 besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1. Berechne den Streckfaktor a und die Nullstellen.

Nullstellen in Abhängigkeit von a:
ax2+1=0
⇒x2=−1a
⇒x1,2=±−1a

a aus gegebener Steigung in xT=x2 ermitteln:
m=2a⋅xT
⇒m=2a⋅−1a=1
⇒a⋅−1a=12
⇒a2⋅(−1a)=14
⇒−a=14
⇒a=−14

Nullstellen:

x1,2=±−1a =±4=±2


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