Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus

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Die Winkelhalbierende im Fokus

Die Winkelhalbierenden gehören ebenfalls zu den besonderen geometrischen Linien.
Sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden.
Sicherlich hast du schon einmal von einer Kompassrose gehört, auch Windrose genannt.
Sie zeigt die Himmelsrichtungen wie Norden, Süden, Osten und Westen sowie weitere Zwischenrichtungen an und hilft im Alltag bei der Navigation und Orientierung sowie zur Bestimmung von Windrichtungen.
Besonders bei Zwischenrichtungen, wie Nordost, Südost, Südwest, Nordwest spielen die Winkelhalbierenden eine wichtige Rolle, denn sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden.

Aber kann die Winkelhalbierende noch mehr?
Welche Eigenschaften machen sie eigentlich so besonders?

Parkanlage

Denn nicht nur bei der Orientierung im Alltag ist das Teilen von Winkeln nützlich. Auch in anderen Situationen kann es wichtig sein, Winkel gerecht zu teilen und besondere Punkte zu finden.

Stell dir zum Beispiel vor, du gestaltest eine Parkanlage mit einer dreieckigen Rasenfläche. Die Rasenfläche wird von drei Wegen begrenzt und in der Mitte soll ein Springbrunnen stehen.

Stell dir nun die Frage, wo ein geeigneter Standort für den Springbrunnen wäre?
Welche Rolle könnten Winkelhalbierende dabei spielen?

💭+📒 Überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

In der nächsten Aufgabe erforschst du dann, welche besonderen Eigenschaften die Winkelhalbierenden in einem Dreieck hat und warum dieser Punkt für die Gestaltung der Rasenfläche so wichtig ist.

Eigenschaft der Winkelhalbierenden erkunden

Aufgabe 8

Betrachte zunächst die zwei Wegstrecken ([AB] und [BC]), die sich in einem Punkt schneiden.

1. Zeichne dazu die beiden Wegstrecken [AB] und [BC], die sich in einem Punkt schneiden und einen Winkel von 83° bilden.
   Nutze für die Konstruktion das untenstehende GeoGebra Applet.
2. Konstruiere anschließend die Winkelhalbierende und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
3. Miss jeweils die Abstände der Punkte zu den Wegstrecken.
   📒 Notiere deine Ergebnisse in deinem persönlichen Hefter auf Seite 9.

Tipps:

1. Nutze für die Konstruktion der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge".
2. Nutze für die Konstruktion des Winkels das Werkzeug "Winkel mit fester Größe" (im Uhrzeigersinn).

Konstruiere eine feste Strecke AB. Werkzeug: "Strecke mit fester Länge" Konstruiere den Winkel ß am Wegpunkt B. Werkzeug: "Winkel mit fester Größe" Konstruiere eine Strecke von Punkt B zu A'. Werkzeug: "Strecke" Konstruiere eine Winkelhalbierende. Werkzeug: "Winkelhalbierende" Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Winkelhalbierende. Werkzeug: "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu den Wegstrecken. Werkzeug: "Abstand oder Länge" Die Punkte C, D, E auf der Winkelhalbierenden haben denselben Abstand zu den Wegstrecken [AB] und [BC].

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Wir können folgendes festhalten:

Eigenschaft der Winkelhalbierenden

Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:

Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

Wir haben nun auch die Eigenschaft der Winkelhalbierenden festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht es wie immer nicht aus, nur eine Beobachtung als Begründung heranzuführen.

Können wir auch hier begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

Beweis der Eigenschaft

Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle ein Aufgabenniveau aus und bearbeite diesen.

Niveau	Arbeitsauftrag 9
Aufgabenniveau 1 ★	Aufgabe 9a Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig. Voraussetzung: P liegt auf der Winkelhalbierenden wa Behauptung: Die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln sind gleich: |PC| = |PD| Beweis: Die Winkelhalbierende wa zerlegt das Viereck CPDS in zwei rechtwinklige Teildreiecke CPS und DBS. Es gilt: (1) |SP| = |SP|, da SP zu beiden Dreiecken gehört. (2) α1 = α2, da SP die Winkelhalbierende von α ist. (3) Die Winkel bei C und D sind nach Konstruktion 90° groß. Nach dem Kongruenzsatz sww bzw. wsw sind beide Dreiecke kongruent zueinander und somit gilt auch: |PC| = |PD|.
Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)	Aufgabe 9b Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. Bringe sie in die richtige Reihenfolge.
Aufgabenniveau ★★★	Aufgabe 9c Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz: Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich. Es gilt |PC| = |PD|. Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen. 📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 10. 5 Schritte zum Beweis - Leitfragen: Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären Was ist gegeben? Was weißt du über den Punkt P? Was willst du zeigen? Schritt 2 - Situation zeichnen Zeichne einen Winkel mit dem Scheitel S, die Winkelhalbierende wα, markiere den Punkt P und zeichne die Lotstrecke von P auf beide Schenkel. Schritt 3 - Wissensbasis sammeln Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe. Notiere alles, was du sicher weißt. SP = SP, weil ... Winkel α1 = Winkel .., weil ... Winkel SCP = Winkel ..., weil ... Schritt 4 - Finde eine passende Strategie Wie kannst du zeigen, dass zwei kongruente Dreiecke entstehen? Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW Schritt 5 - Rückschau Was folgt aus der Kongruenz der Dreiecke? → Fasse deine Beweisidee zusammen. Lösungsvorschlag herunterladen

Du hast gerade einen Beweis gemeistert, der genaues Denken und Sorgfalt erfordert.
Das ist gar nicht so einfach! Gut gemacht!

Um all das wichtige auf einen Blick zu behalten, fassen wir dies noch einmal in einem Merksatz zusammen.

Merke

Satz: Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:

Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

Beweis: Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel.
Betrachtet man die rechtwinkligen Dreiecke CPS und DPS, so gilt:

1. SP = SP (gemeinsame Seite)
2. α1 = α2 (Winkelhalbierende)
3. Die Winkel bei C und D = 90°

Nach dem Kongruenzsatz WSW sind die Dreiecke kongruent.
Darauf folgt: ∣PC∣ = ∣PD∣

Der Punkt P hat also zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand.

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Stell dir nun wieder unsere Parkanlage vor, in der mittig ein Springbrunnen stehen soll.
Jetzt wendest du das Wissen aus den Merksätzen wieder praktisch an.

Aufgabe 10

1. Ermittle nun den Standort des Springbrunnens und seine Entfernung zu den Wegstrecken.

2. Überprüfe deine anfängliche Vermutung (Seite 8) für die Standortbestimmung des Springbrunnens. Markiere sie mit ✔ oder ✘.

📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 11.

Wichtig: Konstruiere die gegebenen Längen der Strecken [AB], [BC] und [AC] in cm.

Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von beiden Wegstrecken entfernt sind. Konstruiere die Winkelhalbierenden der Strecken AB, BC und AC. Der Mittelpunkt der drei Winkelhalbierenden ist der Standort des Springbrunnens.

Beginne mit einer Seite. Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.

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