Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen

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Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen

• In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der Linearfaktorform einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.
• In diesem Zusammenhang wird auch die Nullprodukt-Regel und der Begriff der Nullstelle einer Funktion wiederholt.
• Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.

Linearfaktorform

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $f(x)=x^2-6x+5$

Neben der Scheitelpunktform und der Normalform gibt es noch eine weitere Darstellungsform für quadratische Funktionen, nämlich die Linearfaktorform. Ein Beispiel hierfür ist die Funktionsgleichung

$f(x)=(x-1)\cdot (x-5)$

Der Funktionsterm ist das Produkt zweier Klammern, die beide einen linearen x-Ausdruck enthalten. Das bedeutet: Für sich genommen ist jeder einzelne Klammerausdruck der Funktionsterm einer linearen Funktion, in dem die Variable $x$ nur einfach, also nicht zum Quadrat oder in einer noch höheren Potenz vorkommt. Da die beiden Klammern innerhalb des Produkts also "lineare Faktoren" sind, heißt der gesamte Funktionsterm "Linearfaktorform".

Wenn man in der Beispielfunktion $f(x)=(x-1)\cdot (x-5)$ die beiden Klammern ausmultipliziert, stellt man fest, dass es sich dabei um die Funktion $f(x)=x^2-6x+5$ aus der 1. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist:

$f(x)=(x-1)\cdot (x-5)$ $=x^2-5x-x+5$ $=x^2-6x+5$

Die Abbildung 1 legt nahe, dass diese Parabel die x-Achse in den beiden Punkten $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ schneidet. Dies lässt sich rechnerisch leicht bestätigten, indem man die x-Koordinaten dieser Punkte in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt. Dafür eignet sich die Linearfaktorform besonders gut, denn durch Einsetzen des x-Wertes $x_1=1$ erhält man

$f(1)=(1-1)\cdot (1-5)=0\cdot (-4)=0$

Die erste Klammer wird offensichtlich Null und das reicht aus, damit auch das gesamte Produkt Null wird. Entsprechend wird durch Einsetzen des x-Wertes $x_2=5$ die zweite Klammer - und damit das gesamte Produkt - zu Null:

$f(5)=(5-1)\cdot (5-5)=4\cdot 0=0$

Hier kommt die so genannte "Nullprodukt-Regel" zum Tragen:

Nullprodukt-Regel

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.

In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$.

Definitionen Nullstelle

Eine Zahl $x_N$ heißt Nullstelle einer Funktion $f$, wenn gilt $f(x_N)=0$.
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse.

1. Aufgabe (Erkunden) - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen

Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet.

1. Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion $f$, deren Graph die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_2(4|0)$ schneidet.
2. Begründe, dass es eine ganze Schar von Funktionen gibt, die alle genau diese beiden x-Achsenschnittpunkte besitzen. Gib die Funktionsgleichung dieser Schar an und beschreibe, worin sich die einzelnen Parabeln der Schar unterscheiden.
3. Ermittle die Normalform einer Parabel $g$, die die x-Achse in den Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$ und die y-Achse im Punkt $S_g(0|4)$ schneidet.

1. $f(x)=(x+2)\cdot (x-4)$ $=x^2-4x+2x-8$ $=x^2-2x-8$
2. Alle Funktionen der Schar $f_a(x)=a\cdot (x+2)\cdot (x-4)$ mit $a=0$ besitzen die Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=4$. Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man
   $a\cdot (x+2)\cdot (x-4)=0$
   Wegen $a=0$ kann man auf beiden Seiten durch $a$ dividieren und erhält die Gleichung
   $(x+2)\cdot (x-4)=0$ mit den Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=4$.
   Alle Parabeln der Schar $f_a$ schneiden die x-Achse in den beiden Punkten $N_1(-2|0)$ und $N_1(4|0)$. Wenn man den Parameter a verändert, wandert der Scheitelpunkt der Parabel auf einer Parallelen zur y-Achse auf- und abwärts, die durch den Punkt $(1|0)$ geht. Gleichzeitig wird die Parabel immer flacher, je mehr sich der Betrag von $a$ sich dem Wert 0 nähert.
3. $f_a(x)=a\cdot (x^2-2x-8)$ $=a{x}^2-2ax-8a$
   Wenn man $-8a=4$ setzt, erhält man $a=-\frac{1}{2}$. Für $a=-\frac{1}{2}$ hat das absolute Glied in der Funktionsgleichung - und damit der y-Achsenabschnitt der Parabel $f_a$ - den Wert $(-8)\cdot (-\frac{1}{2})=4$. Die gesuchte Funktion $g$ hat die Gleichung $g(x)=f_{-0,5}(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+x+4$.

Allgemeine Linearfaktorform

Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $f$ die Form

$\mathit{f}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{a}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{-}{\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{-}{\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{)}$   mit   $a=0$

besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen Linearfaktorform. In dieser kann man die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ der Schnittpunkte mit der x-Achse $N(x_1|0)$ und $N(x_2|0)$ direkt ablesen. Die x-Koordinaten $x_1$ und $x_2$ bezeichnet man als ihre Nullstellen.

Beachte: In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern hinter einem Minuszeichen. Um zu erreichen, dass bei einem konkreten Ausdruck wie $(x+2)(x-4)$ die beiden Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=+4$ beide hinter einem Minuszeichen erscheinen, kann man die erste Klammer $(x+2)$ umformen zu $(x-(-2))$.

In der Linearfaktorform kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen. Es stellt sich die Frage, wie man die Nullstellen berechnen kann, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist. Dies wird im Folgenden am Beispiel zweier bekannter Funktionen gezeigt.

1. Beispiel - Linearfaktorform aus Scheitelpunktform erstellen

Gegeben ist die Scheitelpunktform $f(x)=(x-3{)}^2-4$ einer Funktion $f$.
Gesucht sind die die Nullstellen von $f$ - und damit ihre Linearfaktorform.

Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die 3. binomische Formel anzuwenden:

$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$

In der Scheitelpunktform entspricht der Ausdruck $(x-3{)}^2$ dem $a^2$ in der binomischen Formel, der Klammerinhalt $x-3$ demnach dem $a$. Der subtrahierte Wert 4 entspricht dann dem $b^2$ in der Formel, der Wert 2 also dem $b$.

$f(x)=(x-3{)}^2-4$    | den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen
    $=(x-3{)}^2-2^2$    | 3. binomische Formel anwenden
    $=(x-3+2)\cdot (x-3-2)$    | in den Klammern zusammenfassen
    $=(x-1)\cdot (x-5)$

2. Beispiel - Linearfaktorform aus allgemeiner Scheitelpunktform erstellen

Wenn die Funktionsgleichung von $f$ in der allgemeinen Scheitelpunktform mit einem Streckfaktor $a=1$ gegeben ist, muss man diesen erst wieder ausklammern, bevor man die 3. binomische Formel anwendet. Auch im folgenden Beispiel wird mit der Funktion $f$ aus der 4. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform auf eine bereits bekannte Funktion zurückgegriffen.

Gegeben ist die Scheitelpunktform $f(x)=\frac{1}{4}(x-4{)}^2-1$ einer Funktion $f$.
Gesucht ist die Linearfaktorform von $f$.

$f(x)=\frac{1}{4}(x-4{)}^2-1$     | den Koeffizienten $\frac{1}{4}$ aus dem gesamten Term ausklammern
    $=\frac{1}{4}\cdot ((x-4{)}^2-4)$     | den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen
    $=\frac{1}{4}\cdot ((x-4{)}^2-2^2)$    | 3. binomische Formel anwenden
    $=\frac{1}{4}(x-4+2)(x-4-2)$     | in den Klammern zusammenfassen
    $=\frac{1}{4}(x-2)(x-6)$

2. Aufgabe (Üben) - Bestimmung der Nullstellen aus einfacher Scheitelpunktform üben

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Es handelt sich dabei um die bekannten Funktionen aus der 3. Aufgabe des Kapitels QF05 Scheitelpunktform und Normalform. Die Lösungen können entsprechend auch mit dem dazu gehörenden GeoGebra-Applet graphisch überprüft werden.

1. $f(x)=(x-1{)}^2-9$
2. $g(x)=(x-2{)}^2-1$
3. $h(x)=(x+1,5{)}^2-6,25$

1. $f(x)=(x-1{)}^2-9$ $=(x-1{)}^2-3^2$ $=(x-1+3)(x-1-3)$ $=(x+2)(x-4)$   
   Nullstellen: $x_1=-2$ und $x_2=4$
2. $g(x)=(x-2{)}^2-1$ $=(x-2{)}^2-1^2$ $=(x-2+1)(x-2-1)$ $=(x-1)(x-3)$   
   Nullstellen: $x_1=1$ und $x_2=3$
3. $h(x)=(x+1,5{)}^2-6,25$ $=(x+1,5{)}^2-2,5^2$ $=(x+1,5+2,5)(x+1,5-2,5)$ $=(x+4)(x-1)$   
   Nullstellen: $x_1=-4$ und $x_2=1$

Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Scheitelpunktform und die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die bekannte Funktion aus dem 2. Beispiel $f(x)=\frac{1}{4}\cdot (x-4{)}^2-1$ $=\frac{1}{4}\cdot (x-2)(x-6)$ dargestellt wird. Über die Schieberegler können die Parameter mit der Maus verändert werden. Mit kurzen Klicks oder den Pfeiltasten können die Werte in kleinen Schritten exakt eingestellt werden. In der Scheitelpunktform kann man auch den Scheitelpunkt mit der Maus verschieben, in der Linearfaktorform die x-Achsenschnittpunkte auf der x-Achse.

Scheitelpunktform  $\mathit{f}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{a}\mathit{\cdot }\mathit{(}\mathit{x}\mathit{-}\mathit{d}{\mathit{)}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{e}$

Linearfaktorform  $\mathit{f}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{a}\mathit{\cdot }\mathit{(}\mathit{x}\mathit{-}{\mathit{x}}_{\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{-}{\mathit{x}}_{\mathit{2}}\mathit{)}$

3. Aufgabe (Üben) - Bestimmung der Nullstellen aus allgemeiner Scheitelpunktform

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Die Lösungen können auch mit den obigen GeoGebra-Applets überprüft werden.

1. $f(x)=0,4(x+1{)}^2-6,4$
2. $g(x)=-(x-2{)}^2+1$
3. $h(x)=-0,6(x+1,5{)}^2+3,75$

1. $f(x)=0,4(x+1{)}^2-6,4$
       $=0,4((x+1{)}^2-16)$
       $=0,4(x+1+4)(x+1-4)$
      $=0,4(x+5)(x-3)$   
   Nullstellen: $x_1=-5$ und $x_2=3$
2. $g(x)=-(x-2{)}^2+1$
       $=-((x-2{)}^2-1)$
       $=-(x-2+1)(x-2-1)$
       $=-(x-1)(x-3)$   
   Nullstellen: $x_1=1$ und $x_2=3$
3. $h(x)=-0,6(x+1,5{)}^2+3,75$
       $=-0,6((x+1,5{)}^2-6,25)$
       $=-0,6(x+1,5+2,5)(x+1,5-2,5)$
       $=-0,6(x+4)(x-1)$   
   Nullstellen: $x_1=-4$ und $x_2=1$

4. Aufgabe (Erkunden) - quadratische Funktion ohne Nullstellen

Wie wir gesehen haben, kann man jede Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln und umgekehrt. Man kann auch jede Linearfaktorform in die Normalform umwandeln. Aber umgekehrt funktioniert das nicht immer! Beschreibe graphisch anschaulich, in welchen Fällen eine quadratische Funktion keine Linearfaktorform besitzt und gib ein Beispiel für eine solche Funktion an.

Wenn eine Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt, schneidet sie die x-Achse nicht. Es gibt daher dann auch keine Nullstellen und keine Linearfaktorform. Ein sehr einfaches Beispiel hierfür ist die Funktion $f(x)=x^2+1$. Entsprechendes gilt für Parabeln, die nach unten geöffnet sind und deren Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt. Beispiel: $g(x)=-x^2-1$

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