Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SsW

Lernpfad

Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SsW

In den vorherigen Kapiteln hast du bereits zwei Kongruenzsätze kennengelernt. Du hast erfahren, dass sich Dreiecke eindeutig bestimmen lassen, wenn bestimmte Seiten und Winkel gegeben sind.

Nun stellt sich eine weitere spannende Frage: Reichen auch zwei Seiten und ein Winkel aus, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren?

Mit genau dieser Frage beschäftigt sich der Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel). Im Gegensatz zum Kongruenzsatz SWS liegt der gegebene Winkel hier jedoch nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten. Dadurch entsteht eine besondere Situation, die wir genauer untersuchen werden.

In diesem Kapitel lernst du, unter welchen Bedingungen zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent sind und warum die Lage des Winkels dabei eine wichtige Rolle spielt. Anhand von Beispielen, Konstruktionen und Übungen wirst du herausfinden, wann ein Dreieck eindeutig bestimmt ist und wann möglicherweise mehrere Lösungen entstehen können.

Halte wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll fest und bearbeite die Aufgaben sorgfältig. Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann der Kongruenzsatz SsW angewendet werden darf und wie man mit den gegebenen Angaben ein Dreieck eindeutig konstruiert.

Einführung

Zwei Dreiecke werden als Kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier die lange Seite (S), die kurze Seite (s) und den Winkel (W) betrachtet, nennt man diesen Kongruenzsatz SsW.

Beispiel:

Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a= 3 cm; b= 2 cm und dem Winkel Alpha= 70º. Max behauptet, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Seiten übereinstimmen. Außerdem liegen die übereinstimmenden Winkel den längeren Seiten gegenüber. Tom ist skeptisch. Die beiden Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max eines der Dreiecke dreht und spiegelt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Merke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

Aus dem Kongruenzsatz SsW können wir einen weitere Sache im Umgang mit Dreiecken lernen! Kennt man die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.

Gegeben sind die drei Dreiecksseiten a = 5 cm; c = 4 cm und ⍺= 60º . Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selber an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberlegt, kennt, kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.

Lernkontrolle

Übung

1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinen Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und miss die Winkel der Dreiecke! Als Unterstützung kannst du auch nochmal in die Einführung schauen.

a) a= 6,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=37º

b) a= 7,5 cm; b= 5,5 cm; ⍺=62º

Übung

2) Es soll ein Tunnel durch den Berg gebaut werden. Der Tunnel soll zwischen B und C gebaut werden. Zeichne die Daten in deinem Lernprotokoll maßstäblich nach und ermittle die Länge des Tunnels.

Merksatz

Übertrage die folgenden Sätze zum Kongruenzsatz SsW in dein Lernprotokoll:

Merke

(1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

(2) Wenn man von einem Dreieck die Maße von zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüberlegt, kennt, kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.