Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben

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Lernschritt Normalparabel in x-Richtung verschieben

• In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrem Funktionsterm $x^2$ noch vor dem Quadrieren eine konstante Zahl von der Variable $x$ subtrahiert oder zu ihr addiert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=(x-3{)}^2$ und $h(x)=(x+2{)}^2$ genauer betrachtet.
• Anschließend wird wieder die gesamte Funktionenschar untersucht und
• schließlich lernst du noch die allgemeine Gleichung für eine Transformation von Funktionsgraphen in x-Richtung kennen.

1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen

1. Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=(x-3{)}^2$ und $h(x)=(x+2{)}^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die Abfolge der y-Werte von links nach rechts bei allen drei Funktionen. Welchen Zusammenhang in Bezug auf die Parabel-Treppe stellst du fest?

Tabelle 1

$x$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)=x^2$
$g(x)=(x-3{)}^2$
$h(x)=(x+2{)}^2$

Tabelle 1

$x$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)=x^2$	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36
$g(x)=(x-3{)}^2$	64	49	36	25	16	9	4	1	0	1	4	9
$h(x)=(x+2{)}^2$	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36	49	64

1. Bei den Funktionsgraphen von $g$ und $h$ kann man die gleiche Parabel-Treppe anlegen wie bei der Normalparabel (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe). Allerdings beginnt sie bei $g$ im tiefsten Punkt $(3|0)$ und bei $h$ im tiefsten Punkt $(-2|0)$.

2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen

QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf
Zwei in x-Richtung verschobene Normalparabeln

1. In der Abbildung "QF03 Abbildung 1" sind zwei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese beiden Graphen den Funktionen $g(x)=(x-3{)}^2$ und $h(x)=(x+2{)}^2$ zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von "Treppen-Punkten" aus der Tabelle 1 (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe).
2. Die Graphen von $g(x)=(x-3{)}^2$ und $h(x)=(x+2{)}^2$ sind verschobene Normalparabeln. Gibt für beide Graphen an, um wie viele Einheiten und in welche Richtung die Normalparabel verschoben wurde und erläutere anhand der Funktionsgleichung von $g$, wie die Verschiebung zustande kommt.

1. Die durchgezogene Linie ist der Graph der Funktion $g$, die gestrichelte Linie der Graph der Funktion $h$. Am Koordinatenraster der Abbildung kann man ablesen, dass z.B. die "Treppen-Punkte" $(3|0)$, $(4|1)$, $(5|4)$ $(6|9)$, die man in Tabelle 1 für die Funktion $g$ findet, auf diesem Graphen liegen.
   Entsprechendes gilt für die Treppen-Punkte $(-2|0)$, $(-1|1)$, $(0|4)$, $(1|9)$ der Funktion $h$, die auf der gestrichelten Linie liegen.
2. Der Graph der Funktion $g$ ist eine um 3 Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel, der Graph der Funktion $h$ ist eine um 2 Einheiten nach links verschobene Normalparabel.
3. Begründung für die Verschiebung nach rechts (in positiver x-Richtung) am Beispiel $g$:
   In Tabelle 1 erkennt man, dass die Zeile mit den y-Werten von $g$ gegenüber der y-Reihe von $f$ um 3 Spalten nach rechts verschoben ist. Diese Verschiebung gilt auch für jeden anderen x-Wert, wenn man ihn in beide Funktionen einsetzt. Die Gleichung $g(x)=(x-3{)}^2$ kann man auch so schreiben: $g(x)=f(x-3)$, denn man erhält $g(x)$, wenn man in der Gleichung von $f$ das $x$ durch $x-3$ ersetzt.
   Die Gleichung $g(x)=f(x-3)$ kann man auch so interpretieren, dass die Funktionenmaschine $g$ an der Stelle $x$ den gleichen Funktionswert erzeugt, den die Maschine $f$ erst erzeugt, wenn man $x$ um 3 verringert hat. Der von $g$ erzeugte Punkt liegt also 3 Einheiten rechts von dem Punkt, den $f$ aus dem gleichen $x$ erzeugt. Daher ist der gesamte Graph von $g$ gegenüber der Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

Zusammenfassung - Verschiebung   $f(x)=(x-d{)}^2$

• Der Graph der Funktion $f(x)=(x-d{)}^2$ ist für jede Zahl $d\in \mathbb{ℝ}$ eine um den Betrag von $d$ in x-Richtung verschobene Normalparabel.
• Wenn $d$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts (in positiver y-Richtung), bei negativem $d$ um eine Verschiebung nach links.
• Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x)=(x-d{)}^2$ besitzt die Koordinaten $S(d|0)$.
• Alle Funktionen, deren Graph eine in x-Richtung verschobenen Normalparabel ist, bilden die Funktionenschar $f_d(x)=(x-d{)}^2$.

In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung $f_d(x)=(x-d{)}^2$ in x-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers $d$ verändert oder den Scheitelpunkt auf der x-Achse mit der Maus verschiebt.

Achtung, Stolperfalle! In dem allgemeinen Funktionsterm $(x-d{)}^2$ steht hinter dem $x$ ein Minuszeichen. Wenn nun die Zahl $d$ für sich genommen schon eine negative Zahl ist (z.B. $d=-2$), dann stehen in dem Funktionsterm hinter dem $x$ insgesamt zwei Minuszeichen, die zu einem Pluszeichen werden: $f(x)=(x-(-2){)}^2=(x+2{)}^2$.
Wenn also im Funktionsterm hinter dem $x$ ein Pluszeichen steht und dann eine positive Zahl folgt, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach links, also eine Verschiebung in negativer x-Richtung, weil das Pluszeichen bedeutet, dass von dem $x$ in der Klammer eine negative Zahl subtrahiert wird.

3. Aufgabe (Üben) - Normalparabel in x-Richtung verschieben

1. Die Normalparabel wird um eine Einheit nach rechts verschoben. Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel $g$?
2. Die Parabel $g$ wird um 5 Einheiten nach links verschoben. Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel $h$?

1. $g(x)=(x-1{)}^2$
2. $h(x)=(x-1+5{)}^2=(x+4{)}^2$

4. Aufgabe (Üben) - Scheitelpunkt bestimmen

Bestimme jeweils den Scheitelpunkt folgender Funktionen

1. $f(x)=(x-7{)}^2$,
2. $g(x)=x^2+10x+25$

1. Bei der Funktion $f$ kann man den Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.
2. Den Funktionsterm der Funktion $g$ kann man mithilfe der ersten binomischen Formel so umformen, dass man anschließend den Scheitelpunkt ablesen kann.

1. Scheitelpunkt des Graphen von $f$: $S_f(7|0)$
2. $g(x)=x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. Scheitelpunkt des Graphen von $g$: $S_g(-5|0)$

5. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung bestimmen

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Normalparabel so in x-Richtung zu verschieben, dass der Graph der verschobenen Funktion die y-Achse im Punkt $P(0|6,25)$ schneidet. Bestimme die Funktionsgleichungen dieser beiden Funktionen.

Ansatz für die Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung für $x$ den Wert 0 einsetzen und die entstehende Gleichung anschließend nach der unbekannten Größe auflösen.
Ausgangsgleichung: $f(x)=(x-d{)}^2$
$f(0)=(0-d{)}^2\iff 6,25=d^2\iff d_1=-2,5$ und $d_2=2,5$
Ergebnis: $f_{-2,5}(x)=(x+2,5{)}^2$ und $f_{2,5}(x)=(x-2,5{)}^2$

Auch die Gleichung $g(x)=(x-d{)}^2$ zur Verschiebung (Transformation) der Normalparabel in x-Richtung kann für weitere Funktionen verallgemeinert werden.

Transformationsgleichung   $g(x)=f(x-d)$

Verschiebung eines Funktionsgraphen in x-Richtung

• Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion $g$ aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion $f$ dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von $f$ die Variable $x$ durch den Ausdruck $x-d$ ersetzt (kurz: $g(x)=f(x-d)$ mit $d\in \mathbb{ℝ}$), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von $g$ entsteht, indem man den Graphen von $f$ um den Betrag von $d$ in x-Richtung verschiebt.
• Wenn $d$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts, wenn $d$ negativ ist, um eine Verschiebung nach links.

6. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung   $g(x)=f(x-d)$

Begründe die Transformationsgleichung $g(x)=f(x-d)$ für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in x-Richtung.

Alle Punkte auf dem Graphen von $f$ haben die Form $P(x|f(x))$. Dies gilt für jedes $x\in \mathbb{ℝ}$. Für eine beliebige Zahl $d\in \mathbb{ℝ}$ durchläuft der Ausdruck $x-d$ so wie $x$ die gesamte Menge der reelen Zahlen $\mathbb{ℝ}$. Alle Punkte auf dem Graphen von $f$ können daher auch in der Form $P(x-d|f(x-d))$ geschrieben werden.
Wir vergleichen nun die Lage des Punktes $P$ im Koordinatensystem mit der Lage desjenigen Punktes $Q(x|g(x))$, der auf dem Graphen von $g$ liegt und die gleiche y-Koordinate wie $P$ besitzt. Nach Voraussetzung gilt die Gleichung $g(x)=f(x-d)$, d.h. $Q$ besitzt auf dem Graphen von $g$ die gleiche y-Koordinate $f(x-d)$ wie der Punkt $P(x-d|f(x-d))$ auf dem Graphen von $f$. Beide Punkte unterscheiden sich lediglich in der x-Koordinate um den Betrag von $d$, können also durch eine Verschiebung in x-Richtung um den Betrag von $d$ ineinander überführt werden. Da diese Verschiebung für alle Punkte $P$ des Graphen von $f$ gilt, wird der gesamte Graph von $f$ um den Betrag von $d$ in x-Richtung zum Graphen von $g$ verschoben.

1. Wenn $d$ eine positive Zahl ist, dann ist $x$ größer als $x-d$, d.h. $x$ liegt auf der x-Achse $d$ Einheiten rechts von $x-d$ und damit der Punkt $Q(x|g(x))=Q(x|f(x-d))$ mit einem Abstand von $d$ Einheiten in x-Richtung rechts vom Punkt $P(x-d|f(x))$.
   Wenn $d$ eine negative Zahl ist, dann kann man die Subtraktion von $d$ als Addition der positiven Gegenzahl von $d$ betrachten. In diesem Fall ist daher $x$ kleiner als $x-d$, d.h. $x$ liegt auf der x-Achse $d$ Einheiten links von $x-d$ und damit der Punkt $Q(x|g(x))=Q(x|f(x-d))$ mit einem Abstand von $d$ Einheiten in x-Richtung links vom Punkt $P(x-d|f(x))$.

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