Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate

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In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Porsche 918 Spyder

Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder in den ersten 9 Sekunden. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion $s(t)=0,2t^3+4,5t^2$ beschreiben.

$s(t)=0,2t^3+4,5t^2$

Zeit (Sekunden)	Strecke (Meter)
0	0
1	4,7
2	19,6
3	45,9
4	84,8
5	137,5
6	205,2
7	289,1
8	390,4
9	510,3

Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1.1

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe eine mittlere Änderungsrate in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.

Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. Weitere Hilfe.

Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Aufgabe 1.2 (ca. 15-20 min)

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in diesem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

Momentane Änderungsrate

Aufgabe 1.3

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall und die dritte Sekunde als rechte oder linke Grenze.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal, sodass die Geschwindigkeit zur dritten Sekunde möglichst genau bestimmt wird und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

b) Führen Sie die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halten Sie dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt $P(3|f(3))$ am Graphen von $f$ hat. Diese Gerade nennt man Tangente.

Tangente

Die Gerade, die den Graphen von $f$ am Punkt $P(x_0|f(x_0))$ berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von $f$ am Punkt $P$.

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren.

Aufgabe 1.4

Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.

Wie sind Sie bei Aufgabe 1.3 vorgegangen um einen möglichst genauen Wert für die Geschwindigkeit in der dritten Sekunden zu erhalten?

Um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate, in diesem Fall die Geschwindigkeit zu erhalten, muss man das Zeitintervall der mittleren Änderungsrate so kleine machen, dass es letztendlich als Zeitpunkt interpretiert werden kann. Aus der mittleren Änderungsrate, dem Differenzenquotient, wird die momentane (lokale) Änderungsrate, der Differentialquotient.
Geschwindigkeit zur vierten Sekunde: $45,6\frac{m}{s}=164,16\frac{km}{h}$. Ergebnisse können je nach Verkleinerung des Intervall von dieser Lösung abweichen.

Differentialquotient

Der Differenzenquotient $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt $P(x_0,f(x_0))$ beliebig nahe, je näher $x_1$ gegen $x_0$ strebt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient $f^{\prime }(x_0)=\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$.
Der Differentialquotient $f^{\prime }(x_0)$ wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ bezeichnet.