Benutzer:Cloehner/Integralrechnung/Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Bereits in Abschnitt 4 hast du einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen und den Funktionswerten der entsprechenden Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen erkannt. Dieser Zusammenhang lässt sich für beliebige Stammfunktionen verallgemeinern.

Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktionktion zu f, so gilt im Intervall [a;b]:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Für die Differenz der Funktionswerte schreibt man auch kurz: $F(b)-F(a)=[F(x){]}_a^b$

Beispiel

Aufgabe

Berechne das Integral $\underset{2}{\overset{8}{\int }}(x^2-4x)dx$.

Lösung

$\underset{2}{\overset{8}{\int }}(x^2-4x)dx=[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2{]}_2^8=\frac{8^3}{3}-2\cdot 8^2-(\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2)=\frac{512}{3}-128-(\frac{8}{3}-8)=48$

Aufgabe 1

Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.

Aufgabe 2

Berechne analog zum Beispiel $\underset{1}{\overset{5}{\int }}(2x^3-5x)dx$ und $\underset{-2}{\overset{4}{\int }}(6x^2-5)dx$ und kontrolliere deine Ergebnisse mit dem GTR.