Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $-\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\le -\frac{1}{n}<0$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n}$ für $a\ne 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac{1}{n}}$$=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}}.$

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, definiert durch $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!).

$f^{-1}$ ergibt sich aus $f$ durch Auflösen nach $x$. Es ist:
$y=x^{\frac{1}{3}},|({)}^3$
$y^3=x^{\frac{3}{3}}=x.$

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ mit Definitionsbereich ID = IR⁺. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Auflösen nach $x$ ergibt:
$y=x^{-\frac{1}{3}},$
$y^3=x^{-\frac{3}{3}}=x^{-1}=\frac{1}{x},$
$x\cdot y^3=1,$
$x=\frac{1}{y^3}=y^{-3}.$

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

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