Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: $0<\frac{1}{n}\le 1$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.

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Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}},n\ge 2$ heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ und Wurzelfunktionen $g(x)=\sqrt[n]{x}$ hängen eng zusammen, denn es gilt:

$x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

$\sqrt[n]{x}:\iff {\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$

Beispiele:

• $16=\{\begin{array}{ll}4\cdot 4& =4^2\\ -4\cdot (-4)& =(-4{)}^2\end{array}\Rightarrow \sqrt{16}=\pm 4$, aber
• $-16=\{\begin{array}{ll}(-1)\cdot 4\cdot 4& =(-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4)\cdot (-4)& =(-1)\cdot (-4{)}^2\end{array}\Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot \sqrt{-1}$, nicht definiert.
• $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[3]{3^3}={\sqrt[3]{3}}^3=3$, aber auch

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Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR⁺

Offenbar kann man zum Beispiel wegen

• $\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3\cdot -3}=\sqrt[3]{-3^3}={\sqrt[3]{-3}}^3=-3$, und
• $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[3]{3^3}={\sqrt[3]{3}}^3=3$

die Wurzelfunktionen $f(x)=\sqrt[n]{x}$ zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.

Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:

• $-2=\sqrt[3]{-8}=(-8{)}^{\frac{1}{3}}=(-8{)}^{\frac{2}{6}}={((-8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}=={((8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}=(8{)}^{\frac{2}{6}}=(8{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

$f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ und $\mathbb{𝔻}={\mathbb{ℝ}}_{\ge 0}$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass

$g(x):=\{\begin{array}{ll}\sqrt[n]{x},& x\ge 0\\ -\sqrt[n]{-x},& x<0\end{array}$. Dann gilt: ID_g = IR.