Benutzer:JannisMika/ Satz des Pythagoras

Wiederholung J

Im Matheunterricht in den letzten habt ihr schon gelernt, wie man Zahlen quadriert.

So heißt zum Beispiel x² = x*x und somit ist 4² = 4*4 = 16.

Aufgabe: Kannst du das auch noch? Berechne in deinem Heft: 2², 10², 8², 1².

Außerdem habt ihr gelernt, was es heißt von einer Zahl die Wurzel zu ziehen.

Denn ist 4² = 16, so ist die Wurzel aus 16 gleich 4.

Aufgabe: Berechne in deinem Heft die Wurzeln von: 36, 81, 49.

Anschaulich kann man sich das gut an einem Quadrat vorstellen. Hat das Quadrat die Seitenlänge b ist sein Flächeninhalt b². Gleichbedeutend ist die Wurzel aus dem Flächeninhalt die Seitenlänge des Quadrats.

Das darfst du nun an folgender Aufgabe üben:

Herleitung Pythagoras über Quadrate J

Hier findest du eine Animation. In deren Mitte siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. An jeder Seite ist ein Quadrat, das jeweils genau die Seitenlänge von der Seite des Dreiecks hat. Die Eckpunkte des Dreiecks kannst du in der Animation verschieben und so die Seitenlängen des Dreiecks bzw. so auch die Seitenlängen der drei Quadrate verändern. Probiere es aus!

Vielleicht ist dir beim Verschieben der Punkte A, B und C schon ein Zusammenhang von mehreren Werten in der Animation aufgefallen aufgefallen. Wenn nicht, verschiebe nochmal die Punkte und achte darauf, ob dir nun ein Zusammenhang auffällt.

Tipp

Betrachte vor allem die Flächinhalte der Quadrate. Hier springt die bestimmt eine Auffälligkeit ins Auge.

Beschreibe den Zusammenhang, den du gefunden hast, mit deinen eigenen Worten in deinem Heft.

Versuche eine Formel für den Zusammenhang zu finden. Beachte dabei, wie wir die Seiten in einem Dreieck benennen und notiere dir auch deine vermutete Formel.

Hinweis zur Seitenbenennung

Die Seite, die gegenüber von der Ecke A liegt, nennen wir a. Dementsprechend heißt die Seite, die gegenüber von B liegt... Du erhältst hier eine sehr bekannte Formel aus der Mathematik, die du vielleicht sogar schon mal gehört hast.

Tipp zum Formelaufstellen

Wenn du die Seiten benannt hast, erinnere dich, wie du in Abhängigkeit von einer Seite, den Flächeninhalt eines Quadrates angeben kannst. (Das kennst du schon aus der Wiederholungsaufgabe.) Du erhältst hier eine sehr bekannte Formel aus der Mathematik, die du vielleicht sogar schon mal gehört hast.

Lösung

Die gesuchte Formel lautet a² + b² = c². Dieses Formel nennen wir den Satz des Pythagoras.

Rechtwinklige Dreiecke M

Übernehme folgende Informationen und das Bild in dein Merkheft.

Die Hypotenuse ist die größte Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt immer gegenüber des rechten Winkels.

Die Katheten sind die zwei kleinsten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegen immer an dem rechten Winkel.

Aufgabe: Zeichne weitere verschiedene rechtwinklige Dreiecke in dein Heft und beschrifte am Ende die Seiten passend mit Kathete und Hypotenuse.

Was hat das mit Pythagoras zu tun?

Die hast soeben die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennengelernt. Was haben diese Begriffe mit dem Satz des Pythagoras zu tun? Beim Satz des Pythagoras nimmst die Flächeninhalte beider Katheten uns addierst sie zusammen. Diese Summe ist genauso groß wie die der Flächeninhalt der Hypotenuse.

Als Formel: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Merksatz J

Du hast nun den Satz des Pythagoras kennengelernt. Suche dir nun einen der drei folgenden Merksätze auf und vervollständige ihn. Dabei darfst du selbst entscheiden, ob du den Merksatz auf Bundesliga-Niveau, auf Championsleague-Nivau oder auf Weltmeister-Niveau wählst. Übertrage den jeweiligen Merksatz nach dem Ausfüllen in dein Heft.

Bundesliga-Niveau

Championsleague-Niveau

Weltmeister-Niveau

Schon fit, so weit verstanden? Zum Vertiefen und Wiederholen kannst du dir das folgende Video anschauen. Darin siehst du auch schon ein Beispiel für eine Rechnung, in der wir den Satz des Pythagoras später verwenden können.

Für Schnelle: Ein Beweis vom Satz des Pythagoras J

Wenn du bisher gut mit dem Satz des Pythagoras zurecht gekommen bist, kannst du dich hier an einem Beweis probieren.

Auf der rechten Seite siehst du eine Grafik, die dir einen Ansatz zu einem Beweis vom Satz des Pythagoras liefert. Du hast schon direkt eine Idee? Dann probiere es ruhig selbst!

Ansonsten findest du hier eine Reihe von Tipps, die dich zum Beweis führt. Betrachte den nächsten Tipp immer erst dann, wenn du nicht mehr weiterkommst und schreibe deine Schritte in dein Heft unter der Überschrift "Ein Beweis vom Satz des Pythagoras"

Tipp 1

Drücke die gesamte Fläche des großen Quadrats auf zwei verschiedene Arten aus und setze dies gleich (=).

Tipp 2

Beschreibe das große Quadrat einmal einfach mit seiner Seitenlänge (a+b) und einmal durch die Summe aus dem kleineren, violetten Quadrat in der Mitte (c²) sowie aus den vier kleineren, orangenen Dreiecke. Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist Grundseite * Höhe * 1/2)

Tipp 3

Du siehst nun eine Gleichung vor dir. Auf der linken Seite steht der eine Weg, um das große Quadrat zu beschreiben, auf der rechten Seite der andere. Vereinfache diese Gleichung.

Tipp 4

Wende auf der einen Seite die binomische Formel an und verrechne auf der anderen Seite die Zahlen zur Beschreibung der Dreiecke miteinander.

Tipp 5

Was fällt dir auf? Was kannst du "rausstreichen"?

Tipp 6

Auf beiden Seiten steht der gleiche Summand, nämlich 2ab. Diesen können wir also streichen. Zurück bleibt unserer gesuchte Formel.

Alles klar? Zur Festigung oder zum Verstehen darfst du dir nun folgendes Video anschauen, das dir dabei helfen kann, den Beweis (noch besser) zu verstehen und dir den Satz des Pythagoras zu behalten.