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Lernpfad Lineare Funktionen/LF04 Aufgaben

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Drei Geraden f, g und h in einem Koordinatensystem
LF04 Abbildung 1

1. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF03 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Gerade f (durchgezogene Linie)
In der Geradengleichung f(x)=mx+b müssen der Steigungsfaktor m und der y-Achsenabschnitt b bestimmt werden.
y-Achsenabschnitt b: Schnittpunkt mit der y-Achse Sy(0|1) ⇒b=1
Steigungsfaktor m: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt Sy(0|1) aus 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten gehen, um wieder auf die Gerade f zu stoßen. m=−12
Ergebnis: f(x)=−12x+1
Gerade g (gestrichelte Linie)
schneidet die y-Achse im Punkt (0|3,5) und verläuft parallel zu f, besitzt also den gleichen Steigungsfaktor
Ergebnis: g(x)=−12x+3,5
Gerade h (gepunktete Linie)
Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt Sx(−3|0) aus 3 Einheiten auf der x-Achse nach rechts und 6 Einheit auf der y-Achse nach oben gehen, um wieder auf die Gerade h zu stoßen. m=63=2
Ergebnis: h(x)=2x+6

Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein rechnerisch und ohne die Abbildung LF03 Abbildung 1 zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade f(x)=−0,5x+1 und die Punkte P(−1|4) und Q(−4,5|−3). Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Falls er nicht auf der Geraden f liegt, stellen Sie fest, ob er oberhalb oder unterhalb davon liegt.

Punktprobe für Punkt P(−1|4):

f(−1)=−0,5⋅(−1)+1=1,5 Der Punkt P(−1|4) liegt 2,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.

Punktprobe für Punkt Q(−4,5|−3):

f(−4,5)=−0,5⋅(−4,5)+1=3,25 Der Punkt Q(−4,5|−3) liegt 6,25 Einheiten unterhalb der Geraden f.

3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Der Punkt R(6|?) liegt auf der Geraden f(x)=−12x+1. Bestimme die y-Koordinate von R.

x-Koordinate von R in f einsetzen: −12⋅6+1 =−3+1=−2
Ergebnis: y-Koordinate von R hat den Wert   −2.

4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden g, die zu der Geraden f(x)=−12x+1 parallel verläuft und durch den Punkt P(−1|4) geht.

In der Gleichung g(x)=mx+b sind der Steigungsfaktor m und der y-Achsenabschnitt b zu bestimmen.
Wegen der Parallelität zu f besitzt g den gleichen Steigungsfaktor, also m=−12
Zwischenergebnis: g(x)=−12x+b
Um den y-Achsenabschnitt b zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes P(−1|4) in diese Gleichung einsetzen:
    g(−1)=−12⋅(−1)+b
⇒4=0,5+b
⇒3,5=b
Ergebnis: g(x)=−12x+3,5

5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Geraden f(x)=−12x+1, g(x)=−12x+3,5 und h(x)=2x+6 mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit der y-Achse
Alle Punkte auf der y-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre x-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung x=0 setzen.

f(x)=−12x+1
f(0)=−12⋅0+1
f(0)=1
Ergebnis: Die Gerade f scheidet die y-Achse im Punkt (0|1).

g(x)=−12x+3,5
g(0)=−12⋅0+3,5
g(0)=3,5
Ergebnis: Die Gerade g scheidet die y-Achse im Punkt (0|3,5).

h(x)=2x+6
h(0)=2⋅0+6
h(0)=6
Ergebnis: Die Gerade h scheidet die y-Achse im Punkt (0|6).

Schnittpunkte mit der x-Achse
Alle Punkte auf der x-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung f(x)=0 setzen.

f(x)=−12x+1
0=−12⋅x+1
−1=−12⋅x
2=x
Ergebnis: Die Gerade f scheidet die x-Achse im Punkt (2|0).

g(x)=−12x+3,5
0=−12⋅x+3,5
−3,5=−12⋅x
7=x
Ergebnis: Die Gerade g scheidet die x-Achse im Punkt (7|0).

h(x)=2x+6
0=2x+6
−6=2x
−3=x
Ergebnis: Die Gerade h scheidet die x-Achse im Punkt (−3|0).

6. Aufgabe - Gerade durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte P(−1|4) und Q(−4,5|−3) geht.


Die Formel für den Steigungsfaktor m=ΔyΔx=yQ−yPxQ−xP gilt unabhängig davon, ob der Punkt Q im Koordinatensystem links oder rechts von P liegt.

m=−3−4−4,5−(−1)=−7−3,5=2

Zwischenlösung: h(x)=2x+b

Beispielsweise Q(−4,5|−3) einsetzen (P ginge ebenso):

h(−4,5)=2⋅(−4,5)+b
⇒−3=−9+b
⇒b=6

Ergebnis: h(x)=2x+6

7. Aufgabe - Gleichung einer Senkrechten zu gegebener Gerade

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P(−1|4) geht und senkrecht zu der Geraden f(x)=−12x+1 verläuft.

Für die Steigung mh einer zur Geraden f senkrecht verlaufenden Geraden mit der Steiung mf gilt die Formel: mh=−1mf.

mh=−1−12=112=2

Zwischenlösung: h(x)=2x+b

Koordinaten des gegebenen Punktes P(−1|4) einsetzen:

h(−1)=2⋅(−1)+b
⇒4=−2+b
⇒b=6

Ergebnis: h(x)=2x+6


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