Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben

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LF03 Abbildung 1

1. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF03 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$    $g(x)=-\frac{1}{2}x+2,5$    $h(x)=2x+6$

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade $f(x)=-0,5x+1$ und die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(-4,5|-3)$. Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Falls er nicht auf der Geraden f liegt, stellen Sie fest, ob er oberhalb oder unterhalb davon liegt.

Punktprobe für Punkt $P(-1|4)$:

$f(-1)=-0,5\cdot (-1)+1=1,5$ Der Punkt $P(-1|4)$ liegt 2,5 Einheiten oberhalb der Geraden $f$.

Punktprobe für Punkt $Q(-4,5|-3)$:

$f(-4,5)=-0,5\cdot (-4,5)+1=3,25$ Der Punkt $Q(-4,5|-3)$ liegt 6,25 Einheiten unterhalb der Geraden $f$.

3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Die Punkte $P(-4|y_P)$ und $Q(x_Q|0,5)$ liegen beide auf der Geraden $f(x)=-0,75x+2$.

1. Bestimme die fehlenden Koordinaten $y_P$ und $x_Q$ der Punkte.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.

zu 1.

Berechnung von $y_P$:
$f(x)=-0,75x+2$
$f(-4)=-0,75\cdot (-4)+2=5$
Ergebnis: $y_P=5$

Berechnung von $x_Q$:
$f(x)=-0,75x+2$
   $0,5=-0,75x+2$     | $-2$
$\Rightarrow -1,5=-0,75x$     | geteilt durch (-0,75)
$\Rightarrow x=2$
Ergebnis: $x_Q=2$

zu 2.

$m_f=-0,75=-\frac{3}{4}$
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: $m_h=-\frac{1}{m_f}$    (Kehrwert von $m_f$ bilden und Vorzeichen umdrehen)
$m_h=\frac{4}{3}$
Zwischenergebnis: $h(x)=\frac{4}{3}+b$    | Koordinaten von $P(-4|5)$ einsetzen:
   $5=\frac{4}{3}\cdot (-4)+b$
$\Rightarrow \frac{15}{3}=-\frac{16}{3}+b$     | $+\frac{16}{3}$
$\Rightarrow b=\frac{31}{3}=10,\bar{3}$
Ergebnis: $h(x)=\frac{4}{3}x+\frac{31}{3}$

4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt $P(2|3)$ geht.

zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht:
$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$

$y_P=3$ und $y_Q=5$   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }y=y_Q-y_P=5-3=2$

$x_P=2$ und $x_Q=3$   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }x=x_Q-x_P=3-2=1$

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2}{1}=2$

Zwischenergebnis: $f(x)=2x+b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

    $f(2)=2\cdot 2+b$
$\iff 3=4+b$
$\iff b=-1$

Ergebnis: $f(x)=2x-1$

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: $(0|-1)$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): $f(x)=2x-1$
   $0=2x-1$     | $+1$
$\iff 1=2x$     | $/2$
$\iff x=0,5$     (Nullstelle)
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(0,5|0)$

zu 3.

Ansatz: $h(x)=-\frac{1}{2}x+b$

Koordinaten von $P(2|3)$ einsetzen:

$3=-\frac{1}{2}\cdot 2+b$
$3=-1+b$     | $+1$
$b=4$
Ergebnis: $h(x)=-0,5x+4$

5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(1|-5)$ geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung der Geraden g an, die parallel zur Geraden f verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.

zu 1.

$m=\frac{-5-3}{1-(-3)}=\frac{-8}{4}=-2$

Zwischenlösung: $f(x)=-2x+b$

Beispielsweise $P(-3|3)$ einsetzen:

    $f(-3)=-2\cdot (-3)+b$
$\Rightarrow 3=6+b$
$\Rightarrow b=-3$

Ergebnis: $f(x)=-2x-3$

zu 2.

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-3)$
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$f(x)=-2x-3$
$0=-2x-3$
$\Rightarrow 3=-2x$
$\Rightarrow x=-1,5$
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(-1,5|0)$.

zu 3.

$g(x)=-2x$