Benutzer:Pascal Königstein/Wiederholung lineare Funktionen

Willkommen zum Lernpfad "Wiederholung lineare Funktionen"

Dieser Lernpfad ist für 4 Unterrichtsstunden konzipiert und dient dazu das Thema "lineare Funktionen" für den Einstieg in die Analysis der gymnasialen Oberstufe zu wiederholen. Er ist so gedacht, dass Sie sich durch die Themen systematisch durcharbeiten und je nach Wiederholungsbedarf diese Themen erneut aufarbeiten.

Intendiertes Ziel des Lernpfades ist es, den Umgang mit symbolisch-technischen Elementen der Mathematik im Bereich der Analysis zu verbessern.

Begriff der linearen Funktion

In diesem Kapitel werden die grundlegenden Eigenschaften einer linearen Funktion geklärt und die Parameter der Funktionsgleichung definiert.

Funktionsgleichung

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion besitzt eine Gleichung der Form y = m*x + b.

Aufgabe:

Entscheide, welche der folgenden Funktionsgleichung eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist.

1) y = 3x + 4

Schaue dir die allgemeine Form an und versuche die Parameter m und b in der Funktionsgleichung von 1) zu identifizieren.

Die Funktionsgleichung ist eine lineare Funktion. Der Parameter m ist hier 3 und b ist 4. Die Funktionsgleichung besitzt also die Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

2) y = (7/2)x - 9/5

Dich verunsichern die Brüche? Brüche sind ebenfalls "nur" Zahlen. Kannst du die Brüche als Dezimalbruch (Kommazahl) darstellen und sie dann mit den Parametern m und b identifizieren?

Die Funktionsgleichung ist eine lineare Funktion. Der Parameter m ist hier 7/2 und b ist -9/5. Die Funktionsgleichung besitzt also die Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

3) y² = 20x + 4

Betrachte beide "Seiten" der Funktionsgleichung und vergleiche genauer y, m, x und b mit der allgemeinen Funktionsgleichung.

Diese Funktionsgleichung ist keine lineare Funktion! Bei dem y ist ein Exponent, welcher ungleich 1 ist (nämlich hier 2). Würde man die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, steht links zwar dann y, allerdings würde die rechte Seite die Wurzel aus x abbilden. Die Funktionsgleichung gehört dann also zu einer Wurzelfunktion!

4) x + 3 = y

Überlege, ob man die beiden Seiten einer Gleichung tauschen darf.

Auch die Gleichung von 4) ist eine lineare Funktion. Es ist mathematisch völlig egal, ob man die Seiten einer Gleichung tauscht oder nicht.

5) y = -5x² - 9

Betrachte beide "Seiten" der Funktionsgleichung und vergleiche genauer y, m, x und b mit der allgemeinen Funktionsgleichung.

Bei dem x ist der Exponent nicht 1 sondern 2. Es handelt sich also nicht um eine lineare, sondern um eine quadratische Funktion.

6) y = x

Die Parameter m und b können alle reelle Zahlen sein!

Die Parameter m und b der linearen Funktion können alle reelle Zahlen sein, also auch 0. In diesem Beispiel ist m $=$ 1 und b $=$ 0. Es steht dort also y $=$ 1*x + 0 oder in kürzer: y $=$ x.

7) y = -3

Welche Überlegungen hast du bei Gleichung 6) gemacht?

Die Parameter m und b der linearen Funktion können alle reelle Zahlen sein, also auch 0. In diesem Beispiel ist m $=$ 0 und b $=$ -3. Es steht dort also y $=$ 0*x + (-3) oder in kürzer: y $=$ -3.

8) y = $\pi$

Überlege genauer: Was ist "$\pi$"?

Siehe dir die Hilfen zu den Gleichungen 6) und 7) an.

In diesem Beispiel ist m $=$ 0 und b $=$ $\pi$. Da $\pi$ $\approx$ 3,141 lediglich eine reelle Zahl ist, haben wir eine gleiche Situation wie bei Gleichung 7), nur dass wir anstatt der -3 die irrationale Zahl $\pi$ haben.

Bedeutung der Parameter m und b

In diesem Kapitel schauen wir uns die beiden Parameter m und b der allgemeine Gleichung einer linearen Funktion an.

Wie beeinflussen die beiden Parameter die Lage des Graphen der Funktionsgleichung? Was passiert wenn ich diese variiere?

Wenn du dir schon sehr sicher bist, gehe zum Pfad "Experte", wenn du an manchen Stellen noch etwas unsicher bist, benutze den Pfad "Fortgeschritten".

Experte

Beantworte folgende Fragen schriftlich mit Hilfe der untenstehenden GeoGebra-Umgebung und vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen am Ende:

1. Beschreibe die Lage (das "Aussehen") des Graphen, wenn man die Steigung m im Bereich von 0 $<$ m wählt bzw. verändert.
2. Beschreibe die Lage (das "Aussehen") des Graphen, wenn man die Steigung m im Bereich von 0 $>$ m wählt bzw. verändert.
3. Beschreibe die Lage (das "Aussehen") des Graphen, wenn man die Steigung m $=$ 0 wählt/einstellt.
4. Wie verändert sich die Lage (das "Aussehen") des Graphen, wenn man den y- Achsenabschnitt b verändert? Schreibe als je-desto-Satz.

https://www.geogebra.org/classic/rtdbnr6f

Hat die Funktionsgleichung eine positive Steigung (0 $<$ m), so verläuft die Gerade von unten links nach oben rechts.

Hat die Funktionsgleichung eine negative Steigung (0 $>$ m), so verläuft die Gerade von oben links nach unten rechts.

Hat die Funktionsgleichung die Steigung m $=$ 0, so verläuft die Gerade horizontal, also parallel zur x-Achse (zur horizontalen Achse).

Erhöht (verringert) man den y-Achsenabschnitt b, so verschiebt sich die Gerade nach oben (nach unten). Je höher der y-Achsenabschnitt b ist, desto weiter oben verläuft die Gerade im Koordinatensystem. Je niedriger der y-Achsenabschnitt b ist, desto niedriger verläuft die Gerade im Koordinatensystem.

Fortgeschritten

Schreibe die folgenden Merksätze ab und fülle die Lücken mit Hilfe der untenstehenden GeoGebra-Umgebung aus. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen am Ende:

https://www.geogebra.org/classic/rtdbnr6f

1) Hat die Funktionsgleichung eine (?) Steigung (0 $<$ m), so verläuft die Gerade von unten (?) nach oben (?).

2) Hat die Funktionsgleichung eine negative Steigung (0 (?) m), so verläuft die Gerade von (?) links nach (?) rechts.

3) Hat die Funktionsgleichung die Steigung m $=$ (?), so verläuft die Gerade horizontal, also parallel zur (?)-Achse (zur horizontalen Achse).

4) (?) (verringert) man den y-Achsenabschnitt b, so verschiebt sich die Gerade nach oben ((?)). Je (?) der y-Achsenabschnitt b ist, desto weiter oben verläuft die Gerade im Koordinatensystem. Je (?) der y-Achsenabschnitt b ist, desto niedriger verläuft die Gerade im Koordinatensystem.

Hat die Funktionsgleichung eine positive Steigung (0 $<$ m), so verläuft die Gerade von unten links nach oben rechts.

Hat die Funktionsgleichung eine negative Steigung (0 $>$ m), so verläuft die Gerade von oben links nach unten rechts.

Hat die Funktionsgleichung die Steigung m $=$ 0, so verläuft die Gerade horizontal, also parallel zur x-Achse (zur horizontalen Achse).

Erhöht (verringert) man den y-Achsenabschnitt b, so verschiebt sich die Gerade nach oben (nach unten). Je höher der y-Achsenabschnitt b ist, desto weiter oben verläuft die Gerade im Koordinatensystem. Je niedriger der y-Achsenabschnitt b ist, desto niedriger verläuft die Gerade im Koordinatensystem.

Darstellungsformen

Lineare Funktionen lassen sich auf verschiedene Art und Weisen darstellen. Du kennst bereits die typischen Darstellungsweisen einer linearen Funktion, deswegen geht es sofort mit einer kleinen Aufgabe los.

AUFGABE: In der folgenden Tabelle fehlen die Definition und ein Beispiel für die Darstellungsweisen von Funktionen. Ordne die beispielhaften Darstellungsweisen von Funktionen dem richtigen Funktionsbegriff zu und formuliere eine passende Definition. Falls du nicht weiter kommst oder nochmal nachschauen möchtest findest du in den Hilfekarten die Definition der jeweiligen Begriffe.

algebraisch	tabellarisch	grafisch

Beispielhafte Darstellungsweisen von Funktionen
f(x) = 5x + 6

Berechnungen an linearen Funktionen

Wir wissen nun was eine lineare Funktion ist, welche Bedeutung die Parameter m und b haben, wie man lineare Funktionen darstellen kann und welche Beziehungen diese Darstellungen zueinander haben.

Nun starten wir mit dem Rechnen mit den Funktionsgleichungen. Zunächst wiederholen wir, wie man eine Funktionsgleichung entweder aus zwei Punkten oder aus einem Punkt und der Steigung m erhalten, bevor wir uns die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen näher anschauen.

Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten (Zwei-Punkte-Form)

Um die Gleichung einer linearen Funktion aus gegebene Informationen zu berechnen gilt folgender Zusammenhang:

Die allgemeine lineare Funktion besitzt die Form y $=$ m*x + b. Wir haben also zwei unbekannte Parameter. Um diese genau bestimmen und berechnen zu können, benötigen wir zwei voneinander verschiedene Eigenschaften der Funktion, die diese beschreiben. Die erste Möglichkeit ist die Berechnung von m und b durch zwei voneinander verschiedene Punkte, welche auf dem Graphen der linearen Funktion liegen. Um sich dies wieder ins Gedächtnis zu rufen bearbeite dazu die folgenden beiden Aufgaben:

1. Schaue dir das folgende Video ab Minute 3:43 an! https://www.youtube.com/watch?v=w4l1uk5qVGE
2. Schaue dir den gleichen Videoabschnitt noch einmal an und notiere dir schriftlich was bei der Berechnung der Gleichung einer linearen Funktion gegeben und gesucht ist, sowie die zentralen Schritte und wichtigsten Formeln.