Integralrechnung/Aufgaben

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Aufgabe 4

Bestimme jeweils eine Stammfunktion $ F(x) $ zu folgenden Funktionen $ f(x) $ durch umgekehrte Differentiation.

1. $ f(x)=x^{2} $
2. $ f(x)=x^{3} $
3. $ f(x)=3x $
4. $ f(x)=x^{5} $
5. $ f(x)=5x^{2} $
6. $ f(x)=x^{4} $
7. $ f(x)=2 $
8. $ f(t)=2t^{5} $
9. $ f(x)={\frac {2}{5x^{2}}} $
10. $ f(x)=\cos {(3x)} $ (nur Lk)
11. $ f(x)=x+2\sin {(2x)} $ (nur Lk)
12. $ f(x)=e^{x} $
13. $ f(x)=e^{-x} $
14. $ f(x)=2\cdot e^{x} $
15. $ f(x)=e^{-3x} $
16. $ f(x)={\frac {1}{3}}e^{x+5} $
17. $ f(x)=1+e^{{\frac {1}{2}}x} $
18. $ f(x)={\frac {5}{2}}e^{2x-2} $

Die allgemeinen Lösungen lauten:

1. $ F(x)={\frac {1}{3}}\cdot x^{3} $
2. $ F(x)={\frac {1}{4}}\cdot x^{4} $
3. $ F(x)={\frac {3}{2}}\cdot x^{2} $
4. $ F(x)={\frac {1}{6}}\cdot x^{6} $
5. $ F(x)={\frac {5}{3}}\cdot x^{3} $
6. $ F(x)={\frac {1}{5}}\cdot x^{5} $
7. $ F(x)=2x $
8. $ F(t)={\frac {1}{3}}\cdot t^{6} $
9. $ F(x)=-{\frac {2}{5}}x^{-1}=-{\frac {2}{5x}} $
10. $ F(x)={\frac {1}{3}}\sin {(3x)} $
11. $ F(x)={\frac {1}{2}}\cdot x^{2}-\cos {(2x)} $
12. $ F(x)=e^{x} $
13. $ F(x)=-e^{-x} $
14. $ F(x)=2\cdot e^{x} $
15. $ F(x)=-{\frac {1}{3}}\cdot e^{-3x} $
16. $ F(x)={\frac {1}{3}}e^{x+5} $
17. $ F(x)=x+2e^{{\frac {1}{2}}x} $
18. $ F(x)={\frac {5}{4}}e^{2x-2} $

Frage

Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion $ f(x)=a\cdot x^{n} $?

$ F(x)={\frac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+c $

Hauptsatz