Lineare Funktionen/Station 4
Station 4: Aufstellen des Funktionsterms
Schlussetappe!
In Station 3 hast du gelernt, wie die Funktionsgleichung linearer Funktionen aussieht und wie man den Funktionsterm am Graphen ablesen kann. In dieser Station lernst du, wie man den Funktionsterm aufstellen kann, wenn nur wenige Angaben zur Verfügung stehen.
4.1 Funktionsterm aus gegebenem Punkt und Steigung bestimmen
In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:
Eine lineare Funktion $ f $ hat die Steigung $ m=1,5 $ und verläuft durch den Punkt $ A(2|0,5) $.
Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, ohne den Graphen zu zeichnen?
Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.
Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher?
Hilfe zur Selbsthilfe:
- $ f $ ist linear, also gilt $ f(x)=m*x+t $
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) = 1,5* x + t
(Steigung ist ja gegeben)
Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(2|0,5) liegt auf f, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(2) = 0,5 und sowieso Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(2) = 1,5 * 2 + t
- Also: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1,5 * 2 + t = 0,5 oder kurz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3+t=0,5
- Damit: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t = 0,5-3 = -2,5
Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.
Beispiel: Eine lineare Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f
hat die Steigung $ m=3 $ und verläuft durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(1,4)
.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f
ist linear, also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) = mx + t
. Und da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m = 3
ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f (x) = 3x + t
Es muss nur noch t bestimmt werden!
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(1) = 3
also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3*1 + t = 4
und damit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t = 1
4.2 Funktionsterm aus zwei gegebenen Punkten bestimmen
Beispiel:
Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte $ A(4|5) $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(-4|1)
.
Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=0,5
Nun muss wie oben noch t bestimmt werden! Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) = 0,5 x + t
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(4) = 5, \text{ also } 0,5 * 4 + t = 5 \text{ und damit } t = 3
.
