Funktionen
- In der Mathematik spielt der Begriff der Funktion eine zentrale Rolle. Eine Funktion beschreibt, in welcher Weise eine Größe $ y $ von einer anderen Größe $ x $ abhängt, z.B. die Entfernung $ y $ eines zu Boden fallenden Gegenstandes in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $ x $ der Messung oder die Höhe der Einnahmen $ y $ bei einer Veranstaltung in Abhängigkeit von der Anzahl $ x $ der verkauften Eintrittskarten.
Lernpfade zum Thema Funktionen
Funktionenmaschine
Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $ 5^{2}=5\cdot 5=25 $.
Funktionsgleichung
Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer Funktionsgleichung beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit einem x-Wert durchführen muss, um den entsprechenden y-Wert zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet diese Gleichung z.B. einfach $ y=x^{2} $. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $ f(x)=x^{2} $. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$ f $") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $ f(5)=5^{2} $. Innerhalb der Funktionsgleichung nennt man den Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen - z.B. $ f(x) $ - auch Funktionswert, den Ausdruck hinter dem Gleichheitszeichen - im Beispiel $ x^{2} $ - Funktionsterm. Die x-Werte werden manchmal auch als "Argumente" der Funktion bezeichnet.
Beispiele für Funktionenklassen
- Die Funktion $ g $ mit der Funktionsgleichung $ g(x)=2\cdot x+1 $ ist ein Beispiel für eine lineare Funktion. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert $ x=5 $ verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert $ f(5)=2\cdot 5+1=11 $ und den x-Wert $ x=-2,5 $ zu dem y-Wert $ f(-2,5)=2\cdot (-2,5)+1=-4 $.
- Die Funktion$ f $ mit der Funktionsgleichung $ f(x)=x^{2}-4\cdot x+3 $ ist ein Beispiel für eine quadratische Funktion. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert $ x=5 $ verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert $ f(5)=5^{2}-4\cdot 5+3=25-20+3=8 $ und den x-Wert $ x=-2,5 $ zu dem y-Wert $ f(-2,5)=(-2,5)^{2}-4\cdot (-2,5)+3=6,25+10+3=19,25 $.
- Die Funktion$ h $ mit der Funktionsgleichung $ h(x)={\frac {1}{x}} $ ist ein Beispiel für eine gebrochen rationale Funktion. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert $ x=5 $ verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert $ h(5)={\frac {1}{5}}=0,2 $ und den x-Wert $ x=-2,5=-{\frac {5}{2}} $ zu dem y-Wert $ f(-2,5)=-{\frac {2}{5}}=-0,4 $. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.
Funktion als "eindeutige Zuordnung"
Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $ x=3 $ in die Funktion $ f(x)=x^{2} $, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $ y=9 $. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion $ f(x)=x^{2} $ der y-Wert $ y=9 $ als Funktionswert sowohl dem x-Wert $ x=-3 $ als auch dem x-Wert $ x=3 $ zugeordnet, denn $ f(-3)=(-3)^{2}=9 $ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $ f(3)=3^{2}=9 $.
- Argument oder Stelle $ x $
- x-Wert, input der Funktionsmaschine
- Definitionsmenge oder Definitionsbereich $ D_{f} $
- Menge aller x-Werte, die für die Funktion $ f $ zugelassen sind
- Funktionswert an der Stelle x $ f(x) $
- y-Wert, derjenige y-Wert, der dem x-Wert $ x $ von der Funktion $ f $ zugeordnet wird, output der Funktionsmaschine
- Zielmenge oder Wertebereich $ W_{f} $
- Menge aller y-Werte, die als Funktionswerte der Funktion $ f $ vorkommen
- Funktionsterm, z.B. $ x^{2} $
- Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte zu y-Werten
- Funktionsgleichung, z.B. $ f(x)=x^{2} $
- Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
