Lernpfad Lineare Funktionen

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Kapitelübersicht

1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=1,5x-4$ f und der Punkt $P(4|2)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.

1. $f(4)=1,5\cdot 4-4$
   $2=6-4$    Die Funktion f liefert für den x-Wert $x=4$ den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-4)$
   Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
   $1,5x-4=0$ $\iff 1,5x=4$ $\iff x=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ $=2,6666...$ $=2,\bar{6}$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(2,\bar{6}|0)$
3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor $m=1,5$ wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt $b=0$: $g(x)=1,5x$

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=x+1$ und der Punkt $P(-2|-0,5)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt P geht.

1. $f(-2)=-2+1=-1$ Der Punkt P liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
2. Schnittpunkt mit y-Achse: $(0|1)$
   Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
   $x+1=0$ $\iff x=-1$     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(-1|0)$
3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor $m=1$, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
   $g(x)=x+b$
   $g(-2)=-2+b=-0,5\Rightarrow b=1,5$
   Die Gerade g hat die Gleichung $g(x)=x+1,5$

3. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht: $\mathit{m}\mathit{=}\frac{Deltay}{Deltax}\mathit{=}\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$

$x_P=2$ $x_Q=3$ $\mathrm{\Delta }x=x_Q-x_P=3-2=1$

$y_P=3$ $y_Q=5$ $\mathrm{\Delta }y=y_Q-y_P=5-3=2$

$m=\frac{Deltay}{Deltax}=\frac{2}{1}=2$

Zwischenergebnis: $f(x)=2x+b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

$f(2)=2\cdot 2+b$ $\iff 3=4+b$ $\iff b=-1$

Ergebnis: $f(x)=2x-1$