Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station

Eigenschaften der zentrischen Streckung

1. Fixelemente
2. Geradentreue und Parallelentreue
3. Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
4. Längenverhältnistreue
5. Kreistreue
6. Zusammenfassung
7. Übung

4. Station: Längenverhältnistreue

Definition Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis von zwei Bildstrecken gleich dem Längenverhältnis der beiden Urstrecken ist.

Finde heraus ob eine zentrische Streckung längenverhältnistreu ist!

Arbeitsauftrag:

1. Berechne den Streckungsfaktor k.
   
2. Berechne $\overline{A'P'}$ und $\overline{P'B'}$. (Tipp: Beim Eintragen Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!)
3. Berechne ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ und ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Mit Hilfe der folgenden Lückentexte kannst du den Arbeitsauftrag lösen.

Denk konzentriert nach und setze die richtige Aussage in die passende Lücke ein, um die Ergebnisse berechnen zu können:

Zu Punkt 1:

$\mid k \mid$ = $\overline{ZB'}$ : $\overline{ZB}$
Einsetzen der Werte:
$\mid k \mid$ = 6 : 3 = 2 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

Zu Punkt 2:

$\overline{A'P'}$ = $\mid k \mid$ $\cdot$ $\overline{AP}$
Einsetzen der Werte:
$\overline{A'P'}$ = 2 $\cdot$ 0,7 cm = 1,4 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner und gib die Einheit mit an!)

$\overline{P'B'}$ = $\mid k \mid$ $\cdot$ $\overline{PB}$
Einsetzen der Werte:
$\overline{P'B'}$ = 2 $\cdot$ 1,5 cm = 3 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner und gib die Einheit mit an!)

Zu Punkt 3:

Entnehme dem Bild die Werte, berechne und runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen:

$\frac{\overline{AP}}{\overline{PB}}$ = $\frac{0,7 cm}{1,5 cm}$ = 0,47 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)
$\frac{\overline{A'P'}}{\overline{P'B'}}$ = $\frac{1,4 cm}{3 cm}$ = 0,47 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

Wie erklärt sich die Gleichheit in Punkt 3 aus der vorherigen Aufgabe?

Warum ist das Längenverhältnis von $\overline{AP}$ und $\overline{PB}$ gleich dem Längenverhältnis der Bildstrecken?

Warum ist ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$?

Finde die Antwort auf die Frage!

Für $\overline{A'P'}$ kann man auch $\mid k\mid \cdot \overline{AP}$ und für $\overline{P'B'}$ kann man $\mid k\mid \cdot \overline{PB}$ einsetzen.
Daraus folgt: ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}} ={{|k|}\over{|k|}}\cdot$ ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$.
$\mid k\mid$ kann man rauskürzen, so dass ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ $= {\overline{AP}\over\overline{PB}}$ gilt.

Gelten die Überlegungen für alle Strecken?

Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu? (Ja) (!Nein)

Längenverhältnistreue