Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Versionen
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\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x | \int_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x | ||
</math>. <br> | </math>. <br> | ||
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen | Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert. | ||
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# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse. | # Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse. | ||
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math> | # Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math> | ||
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Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet. | |||
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{{Aufgaben-M|14| | {{Aufgaben-M|14| | ||
Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst. | Formuliere selbstst"andig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist. | ||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung| | |||
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br> | |||
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\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x | |||
</math>. <br> | |||
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion. | |||
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{{Kastendesign1| | {{Kastendesign1| | ||
Version vom 15. November 2009, 19:20 Uhr
Integrationsregeln
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Vorlage:Aufgaben-M
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