Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $-\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\le -\frac{1}{n}<0$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n}$ für $a\ne 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac{1}{n}}$$=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}}.$

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $g$ eine Potenzfunktion, definiert durch $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $g^{-1}=:f$ von $g$. $g^{-1}$ ergibt sich aus $g$ durch Auflösen nach $x$. Es ist: $\begin{array}{ccccccc}y& =& x^{\frac{1}{3}},& & & |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{\frac{3}{3}}& & & & \\ & =& x.& & & & \end{array}$ Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt schließlich die gesuchte Funktion: $f(x)=x^3$.

Die Datei w_x3_001.ggb wurde nicht gefunden.

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$. Auflösen nach $x$ ergibt: $\begin{array}{ccccc}y& =& x^{-\frac{1}{3}}.& |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{-\frac{3}{3}},& & \\ & =& x^{-1},& & \\ & =& \frac{1}{x}.& |& \cdot x\\ x\cdot y^3& =& 1.& |& :y^3\\ x& =& \frac{1}{y^3}& & \\ & =& y^{-3}.& & \end{array}$

Die Datei W_x3m_001.ggb wurde nicht gefunden.

Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ mit $n\ge 2$ sind Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^n.$

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$ mit $n\ge 2$ sind Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

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Mit Funktionen malen

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Das nebenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

$f(x)=a\cdot x^q$

mit $a\in \mathbb{ℝ},q\in \mathbb{\mathbb{N}}\cup \{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots \}$ zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild nacheinander folgende Fragen:

Das erste Blatt setzt sich aus drei abschnittsweise definierten Potenzfuntktionen zusammen.

sdad

asdasd