Potenzfunktionen - 3. Stufe

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{*}$ als Exponenten haben.

Die Graphen der Funktionen f(x) = x^1/n, n ∈ IN^*

Funktionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ , $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{*}.$ Vorlage:Merksatz

Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonalen B in einem Quadrat der Seitenlänge a$=$1 über den Satz des Pythagoras $(a^2+a^2=B^2)$ zu: $a^2+a^2=2\cdot a^2=2\cdot 1^2=2=B^2\Rightarrow$ $B=\pm \sqrt{2}=\pm 2^{\frac{1}{2}}.$ Die Lösung $d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.	Datei:Diagonale.png
Auch die Länge der Raumdiagonale C im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $B^2+a^2=C^2$) zu: ${\sqrt{2}}^2+1^2=2+1=3=C^2\Rightarrow$ $C=\pm \sqrt{3}=\pm 3^{\frac{1}{2}}.$ Die Lösung ist also $C=\sqrt{3}$ angeben.	Datei:Diagonale3.png

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s$=$5 ergibt sich über:

$V=s^3=5\cdot 5\cdot 5=5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V$=$27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[3]{3^3}={\sqrt[3]{3}}^3=3.$

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}=-2,$

Wegen

(-2)³ $=$-8

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2=\sqrt[3]{-8}=(-8{)}^{\frac{1}{3}}=(-8{)}^{\frac{2}{6}}={((-8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}={((8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}=(8{)}^{\frac{2}{6}}=(8{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ und $\mathbb{𝔻}={\mathbb{ℝ}}_0^{+}$

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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben. Datei:Pfeil.gif   Hier geht es weiter.