Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SWS

Lernpfad

Benutzer:Enrico und Yannick/Kongruenzsatz SWS

Im vorherigen Kapitel hast du den Kongruenzsatz SSS kennengelernt. Dabei hast du erfahren, dass sich ein Dreieck eindeutig konstruieren lässt, wenn die Längen aller drei Seiten bekannt sind.

Doch müssen wirklich immer alle drei Seiten eines Dreiecks gegeben sein? Oder reichen vielleicht auch weniger Angaben aus, um ein Dreieck eindeutig festzulegen?

Mit dieser Frage beschäftigt sich der Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite). In diesem Kapitel wirst du untersuchen, welche Bedeutung Winkel für die Form eines Dreiecks haben und warum bereits zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel ausreichen, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

Dazu lernst du den Kongruenzsatz SWS anhand von Beispielen kennen, führst eigene Konstruktionen durch und überprüfst dein Wissen in verschiedenen Übungen. Notiere wichtige Erkenntnisse und Merksätze in deinem Lernprotokoll und bearbeite die Aufgaben sorgfältig.

Am Ende dieses Kapitels wirst du erklären können, wann zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind und wie man ein Dreieck mithilfe von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eindeutig konstruiert.

Einführung

Zwei Dreiecke werden als kongruent bezeichnet, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke zwei gleich lange Seiten besitzen und der Winkel zwischen diesen Seiten gleich groß ist. Dabei ist es völlig egal, wie die Dreiecke angeordnet sind. Durch Spiegeln, Drehen oder Verschieben kann die Kongruenz sichtbar gemacht werden. Da man hier zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel betrachtet, nennt man diesen Satz den Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite).

Beispiel:

Gegeben sind drei Dreiecke mit den Seitenlängen b = 1 cm und c = 1,5 cm sowie dem Winkel α = 60°. Max behauptet, dass alle drei Dreiecke kongruent sind, da sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Tom ist skeptisch. Die drei Dreiecke sehen unterschiedlich aus. Indem Max die Dreiecke dreht, spiegelt und verschiebt, möchte er auch Tom davon überzeugen, dass es sich um kongruente Dreiecke handelt.

Eine kleine Übung dazu:

Mit deinem Wissen über den Kongurenzsatz SWS solltest du die fehlenden Seitenlängen Größen der Dreiecke Problemlos ergänzen können!

Merke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen!

Aus dem Kongruenzsatz SWS können wir noch etwas Weiteres über Dreiecke lernen! Hat man die Maße von zwei Seiten und dem zwischen diesen Seiten liegenden Winkel eindeutig gegeben, so kann man daraus ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Gegeben sind die Dreiecksseiten b = 1 cm, c = 1,5 cm und der Winkel α = 60°. Wie man dieses Dreieck eindeutig konstruiert, kannst du hier selbst an einem Beispiel herausfinden. Die Reihenfolge der Bilder ist bereits vorgegeben. Bringe die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge.

Merke

Mit den Maßen von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel kann man ein Dreieck eindeutig konstruieren.

Lernkontrolle

Hier findest du einige Übungen, die du mit deinem Wissen zum Kongruenzsatz SWS problemlos erledigen kannst!

Übung

1) Konstruiere das Dreieck ABC in deinem Lernprotokoll! Fertige die Konstruktionsbeschreibung an und berechne anschließend die fehlende Seite a!

a) b = 4 cm; c = 6 cm; α = 50°

b) b = 5 cm; c = 7 cm; α = 60°