Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

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Die Mittelsenkrechte im Fokus

Mittelsenkrechte gehören zur der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie beschreiben die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu zwei Punkten haben.
Auch im Alltag spielen solche Überlegungen eine wichtige Rolle. Insbesondere dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen.
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, zentrale Punkte zu bestimmen, die von mehreren Bauteilen den gleichen Abstand haben.
Ein typisches Beispiel ist der Brückenbau, bei dem die Lasten möglichst gleichmäßig verteilt werden.

Doch warum funktioniert das eigentlich?
Und was passiert, wenn nicht nur zwei, sondern drei Punkte gleich weit entfernt sein sollen?

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

Versorgungsproblem der Forschungsstationen

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt:

[AB] = 9 km

[BC] = 6 km

[AC] = 11 km

Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen gleich weit entfernt ist.

💭+📒 Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite ...
Wenn du eine Strecke betrachtest, wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

Im nächsten Abschnitt untersuchen wir genauer, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.

Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden

Aufgabe 3

Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

1. Zeichne die Strecke [AB] in das untenstehende GeoGebra Applet.
2. Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
3. Miss jeweils die Abstände zu A und B.
   

Was kannst du beobachten?
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite ... .

Tipp: Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"

Konstruiere eine feste Strecke. Werkzeug: "Strecke mit fester Länge" Bestimme den Mittelpunkt der Strecke. Werkzeug: "Mittelpunkt" Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. Werkzeug: "senkrechte Gerade" Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Strecke. Werkzeug: "Punkt" Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. Werkzeug: "Abstand oder Länge" Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.

Wir können folgendes festhalten:

Eigenschaft der Mittelsenkrechten

Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die gleiche Entfernung zu den Punkten A und B.

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Beweis der Eigenschaft

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechten festgehalten. Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus.
Warum gilt das eigentlich immer?
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle ein Aufgabenniveau aus und bearbeite diesen.

Niveau	Arbeitsauftrag 4
Aufgabenniveau ★	Aufgabe 4a Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig. Voraussetzung: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Behauptung: |PA| = |PB| Beweis: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke AMP und MBP. Es gilt: (1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teildreiecken gehört. (2) |AM| = |MB|, da PM Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist. (3) Beide Winkel bei M sind 90° groß, da PM Mittelsenkrechte von [AB] ist. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke AMP und MBP kongruent zueinander und so gilt auch: |PA| = |PB|.
Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)	Aufgabe 4b Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. Bringe sie in die richtige Reihenfolge.
Aufgabenniveau ★★★	Aufgabe 4c Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz: Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich, es gilt |PC| = |PD|. Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen. 📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite ... . 5 Schritte zum Beweis - Leitfragen: Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären Was ist gegeben? Was weißt du über den Punkt P? Was willst du zeigen? Schritt 2 - Situation zeichnen Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB. Schritt 3 - Wissensbasis sammeln Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe. Notiere alles, was du sicher weißt. AM = MB, weil ... Winkel AMP = Winkel ..., weil ... PM = PM, weil ... Schritt 4 - Finde eine passende Strategie Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind? Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW Schritt 5 - Rückschau Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen. → Welcher Zusammenhang liegt hier vor? Fasse deine Beweisidee zusammen.

Merke

Satz: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechte einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die gleiche Entfernung zu den Punkten A und B.

Beweis: Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr. Betrachtet man die Dreiecke AMP und BMP, so gilt:

1. AM = MB (Mittelpunkt von AB)
2. Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)
3. MP = MP (gemeinsame Seite)

Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke kongruent.

Daher folgt: IPAI = IPBI

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Nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten korrekt formuliert hast, betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C.

Aufgabe 5

Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite ... .

Wichtig: Achte darauf, dass du die Maßangaben der Strecken [AB], [BC] und [AC] in cm angibst.

Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.

Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.
Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.

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