Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt: Unterschied zwischen den Versionen
Nathalie Bosshammer
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'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B. | |||
'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr. | |||
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: | |||
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Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent. | |||
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Arbeitsmethode | |||
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Version vom 2. April 2026, 09:05 Uhr
Umkreismittelpunkt
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden.
Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.
Definition
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden.
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus.
Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck
Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.
- Zeichne zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.
- Verändere in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die Form des Dreiecks, indem du den Eckpunkt "C" verschiebst.
Beantworte und Begründe folgende Fragen in deinem Lernbegleitbogen: 📒
- Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
- Verändert sich der Radius des Umkreises?
- Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten auf?
Frage 1: Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.
Frage 2: Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab.
Frage 3: Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt
Spitzwinkliges Dreieck => Innen
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse
Satz: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die gleiche Entfernung zu den Punkten A und B.
Beweis: Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr. Betrachtet man die Dreiecke AMP und BMP, so gilt:
- AM = MB (Mittelpunkt von AB)
- Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)
- MP = MP (gemeinsame Seite)
Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: IPAI = IPBI
