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Inhaltsverzeichnis

1. Startseite
2. Wiederholung Zuordnungen
3. (Lineare) Funktionen
4. Funktionsgleichung linearer Funktionen
5. Darstellungsarten linearer Funktionen

Die Formel $y=k\cdot x$ hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

$$y=m\cdot x+b$$

Der Parameter m

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.

Bewege den Schieberegler m. Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?

Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.

Übung

Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:

• Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
• Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
• Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
• Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
• Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
• Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
• Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
• Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .

Die Steigung m

Die Steigung m beschreibt, wie (stark) sich der y-Wert verändert, wenn sich der x-Wert um 1 erhöht. Sie gibt also an, wie steil eine Gerade ist und wie sich der Graph von links nach rechts entwickelt.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

• Ist m positiv, dann steigt der Graph und die y-Werte werden größer.
• Ist m negativ, dann sinkt der Graph und die y-Werte werden kleiner.
• Ist m=0, verläuft der Graph konstant (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst

Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen. Sie beschreibt, wie schnell es nach oben oder unten geht, wenn du dich nach vorne bewegst.

• Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung $m=2$.
• Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
• Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.

Die Steigung sagt also:

Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.

So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.

Aufgabe

Übung

In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.

Die Steigung m bestimmen

Du kannst die Steigung anschaulich im Graphen bestimmen – mit einem sogenannten Steigungsdreieck.

Dazu gehst du so vor:

1. Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus:

   

2. Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes:

   

3. Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt:

   

So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck:

• Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich x verändert.
• Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich y verändert.

Aus den Strecken kannst du die Steigung berechnen: $m=\frac{\ddot{A}nderungvony}{\ddot{A}nderungvonx}$
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an: „Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“

Merkkasten

Mathematisch ausgedrück kannst du folgende Gleichung verwenden: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Dabei sind A( x₁ | y₁ ) und B( x₂ | y₂ ) zwei verschiedene Punkte.

Auf diese Weise kannst du m auch mithilfe einer Wertetabelle bestimmen, indem du $y_2,y_1,x_2$ und $x_1$ in die Gleichung einsetzt.

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.

Aufgabe

Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.

Aufgabe

Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

Du bist dir noch unsicher, wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Du bist dir schon sicher, wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:

Aufgabe

Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.

Aufgabe für Knobler

Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.

Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit $k=\frac{y}{x}$ (proportionale Zuordnungen) und m mit $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.

Der Parameter b

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.

Bewege den Schieberegler b. Was fällt dir auf? Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?

Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn $b=2$ ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).

Übung

Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:

• Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
• Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
• Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
• Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
• Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
• b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
• Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .

Der y-Achsenabschnitt b

Der Parameter b beschreibt, wo der Graph beginnt, also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist. Er gibt damit an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet und wie der Graph im Koordinatensystem nach oben oder unten verschoben ist. Man nennt ihn deshalb auch den y-Achsenabschnitt.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

• Ist b positiv, dann liegt der Graph bei x=0 oberhalb der x-Achse und ist nach oben verschoben.
• Ist b negativ, dann liegt der Graph bei x=0 unterhalb der x-Achse und ist nach unten verschoben.
• Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den Ursprung (0I0).

Übernehme den Merkkasten in dein Heft!

Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst

Den Parameter b kannst du dir wie den Startpunkt einer Bewegung vorstellen. Er beschreibt, wo etwas beginnt, bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:

• Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
• Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
• Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der Wert, den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also bei x=0).

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

Aufgaben zu lineareren Funktionen

Übung 1

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