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Die Formel $y=k\cdot x$ hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

$$y=m\cdot x+b$$

Der Parameter m

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nur den Wert m an.

Bewege den Schieberegler m. Kommt dir bekannt vor, was du da siehst? Was passiert, wenn du m änderst?

Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.

Die Steigung m

Die Steigung m beschreibt also die Veränderung des y-Werts, wenn sich der x-Wert um 1 verändert.

Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst

Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen. Sie beschreibt, wie schnell es nach oben oder unten geht, wenn du dich nach vorne bewegst.

• Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung $m=2$.
• Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
• Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.

Die Steigung sagt also:

Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.

So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen:

nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.

ÜBUNG: STEIGUNG <0, >0 oder =0 . WAS BEDEUTET DAS?

ÜBUNG: SINKT ODER FÄLLT DER GRAPH?

Die Steigung m bestimmen

Du kannst die Steigung anschaulich im Graphen bestimmen – mit einem sogenannten Steigungsdreieck.

Dazu gehst du so vor:

1. Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus:

   

2. Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes:

   

3. Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt:

   

So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck:

• Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich x verändert.
• Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich y verändert.

Aus den Strecken kannst du die Steigung berechnen: $m=\frac{\ddot{A}nderungvony}{\ddot{A}nderungvonx}$
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an: „Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“

Merkkasten

Mathematisch ausgedrück kannst du folgende Gleichung verwenden: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Dabei sind A( x₁ | y₁ ) und B( x₂ | y₂ ) zwei verschiedene Punkte.

Auf diese Weise kannst du m auch mithilfe einer Wertetabelle bestimmen, indem du $y_2,y_1,x_2$ und $x_1$ in die Gleichung einsetzt.

ÜBUNG: STEIGUNG M AUS GRAPH UND WERTETABELLE BESTIMMEN

Aufgabe für Schnelle

Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit $k=\frac{y}{x}$ (proportionale Zuordnungen) und m mit $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.

Der Parameter b

In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nur den Wert b an.

Bewege den Schieberegler b. Was fällt dir auf? Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?

Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn $b=2$ ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

m ausrechnen durch Differenzen von y und x.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten?

Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?

Lineare Funktionen können auf ner Gleichung beschreiben. dargestellt werden. Dabei beschreiben alle den immer ähnlich aus: <m, nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:

Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach in Worten beschrieben werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.

Beispiel

„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:

• Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
• Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).

Solche Texte helfen dir, den Zusammenhang zu verstehen, bevor du ihn mathematisch darstellst. Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch mit einer Gleichung beschreiben.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus: $$y=m\cdot x+b$$

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich: $$y=2\cdot x+4$$ Das bedeutet:

• x steht für die gefahrenen Kilometer
• y steht für den Preis

Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt

Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)

Mit einer solchen Gleichung kannst du genau berechnen, wie sich der Zusammenhang verhält. Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.

Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang in einer Tabelle darzustellen. Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:

In der Tabelle siehst du:

• Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
• Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)

Die Tabelle hilft dir besonders gut, den Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen und Muster zu erkennen.

Schließlich kann man eine lineare Funktion auch als Graph im Koordinatensystem darstellen. Dazu: 1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein 2. Verbindest die Punkte miteinander Das Ergebnis ist eine Gerade.

Beispiel

Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:

Diese Gerade zeigt:

• Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
• Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)

Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den gesamten Zusammenhang auf einen Blick sehen kannst.

Zusammenhang der Darstellungen

Eine lineare Funktion kann als Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und beschreiben denselben Zusammenhang auf unterschiedliche Weise:

• Der Text erklärt die Situation
• Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
• Die Tabelle zeigt einzelne Werte
• Der Graph macht den Verlauf sichtbar

Wichtig: Du kannst dabei jederzeit zwischen den Darstellungen wechseln!

Aufgaben zu lineareren Funktionen

Übung 1

Funktionen als eindeutige Zuordnungen

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