Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus

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Die Winkelhalbierende im Fokus

Einstiegstext Winkelhalbierende

Parkanlage

Datei:Inkreis eines Dreiecks.png

In einem Park gibt es eine dreieckige Rasenfläche, die von drei Wegen begrenzt wird. Die Gärtnerinnen und Gärtner möchten diese Fläche zusammen gestalten. Zunächst einmal möchten sie in der Mitte dieser dreieckigen Rasenfläche einen kleinen Springbrunnen platzieren.

Sie stellen sich nun die Frage, wo der Mittelpunkt diese Rasenfläche liegt, damit der Springbrunnen zu allen drei Wegen den gleichen Abstand hat.

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Eigenschaft der Winkelhalbierenden erkunden

Aufgabe

Wir betrachten zunächst zwei Wegstrecken ([AB] und [BC]), die sich in einem Punkt schneiden.

1. Zeichne die beiden Wegstrecken [AB] und [BC], die sich in einem Punkt schneiden und einen Winkel von 83° bilden.
2. Konstruiere die Winkelhalbierende und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
3. Miss jeweils die Abstände der Punkte zu den Wegstrecken.

Tipps:

1. Nutze für Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge".
2. Nutze für das Zeichnen des Winkels das Werkzeug "Winkel mit fester Größe" (im Uhrzeigersinn).

Konstruiere eine feste Strecke [AB] = 5. Werkzeug: "Strecke mit fester Länge" Konstruiere einen Winkel ß = 83° am Wegpunkt B. Werkzeug: "Winkel mit fester Größe" (im Uhrzeigersinn) Konstruiere eine Strecke von Punkt B zu A'. Werkzeug: "Strecke" Konstruiere eine Winkelhalbierende. Werkzeug: "Winkelhalbierende" Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Winkelhalbierenden. Werkzeug "Punkt" Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu den Wegstrecken. Werkzeug: "Abstand oder Länge" Die Punkte C, D, E auf der Winkelhalbierenden haben denselben Abstand zu den Wegstrecken [AB] und [BC].

Wir können folgendes festhalten:

Eigenschaft der Winkelhalbierenden

Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:

Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

Beweis der Eigenschaft

Wir haben nun auch die Eigenschaft der Winkelhalbierenden festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht es wie immer nicht aus, nur eine Beobachtung als Begründung heranzuführen.
Können wir auch hier begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle ein Aufgabenniveau aus und bearbeite diesen.

Niveau	Arbeitsauftrag
Aufgabenniveau 1 ★	Aufgabe Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig. Voraussetzung: P liegt auf der Winkelhalbierenden wa Behauptung: Die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln sind gleich: |PC| = |PD| Beweis: Die Winkelhalbierende wa zerlegt das Viereck CPDS in zwei rechtwinklige Teildreiecke CPS und DBS. Es gilt: (1) |SP| = |SP|, da SP zu beiden Dreiecken gehört. (2) α1 = α2, da SP die Winkelhalbierende von α ist. (3) Die Winkel bei C und D sind nach Konstruktion 90° groß. Nach dem Kongruenzsatz sww bzw. wsw sind beide Dreiecke kongruent zueinander und somit gilt auch: |PC| = |PD|.
Aufgabenniveau ★★	Aufgabe Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz: Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden, dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich, es gilt |PC| = |PD|. Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Lernbegleitbogen. 📒 Dort findest du Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen. Dies ist der versteckte Inhalt.

Merke

Satz: Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

Beweis:

Nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Winkelhalbierenden korrekt formuliert hast,
betrachten wir nun wieder die dreieckige Rasenfläche.

Aufgabe

Ermittle nun den Standort des Springbrunnens und seine Entfernung zu den Wegstrecken.

Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen Lernbegleitbogen. 📒

Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von beiden Wegstrecken entfernt sind.

Konstruiere die Winkelhalbierenden der Strecken AB, BC und AC.

Aufgabe

Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:

Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden,

dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich, es gilt |PC| = |PD|.

Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Lernbegleitbogen. 📒

Dort findest du Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.

Voraussetzung: P liegt auf der Winkelhalbierenden w_a
Behauptung: Die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln sind gleich: |PC| = |PD|
Beweis: Die Winkelhalbierende w_a zerlegt das Viereck CPDS in zwei rechtwinklige Teildreiecke CPS und DBS.
Es gilt:
(1) |SP| = |SP|, da SP zu beiden Dreiecken gehört.
(2) α1 = α2, da SP die Winkelhalbierende von α ist.
(3) Die Winkel bei C und D sind nach Konstruktion 90° groß.
Nach dem Kongruenzsatz sww bzw. wsw sind beide Dreiecke kongruent zueinander und somit gilt auch: |PC| = |PD|.

Beim Erweitern und Kürzen muss man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

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