Lernpfad Lineare Funktionen

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Kapitelübersicht

1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=1,5x-4$ und der Punkt $P(4|2)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
4. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.

1. $f(4)=1,5\cdot 4-4$
   $2=6-4$    Die Funktion f liefert für den x-Wert $x=4$ den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-4)$
   Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
   $1,5x-4=0$ $\iff 1,5x=4$ $\iff x=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ $=2,6666...$ $=2,\bar{6}$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(2,\bar{6}|0)$
3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor $m=1,5$ wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt $b=0$:    $g(x)=1,5x$
4. Formel für den Steigungsfaktor $m_h$ einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor $m_f$) senkrecht verläuft:     $m_h=-\frac{1}{m_f}$. Um $m_h$ zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von $m_f$ und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um.
   $m_f=1,5=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow m_h=-\frac{2}{3}$
   Ergebnis: $h(x)=-\frac{2}{3}x$

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x)=x+1$ und der Punkt $P(-2|-0,5)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.
4. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.

1. $f(-2)=-2+1=-1$ Der Punkt $P(-2|-0,5)$ liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
2. Schnittpunkt mit y-Achse: $(0|1)$
   Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
   $x+1=0$ $\iff x=-1$     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(-1|0)$
3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor $m=1$, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
   $g(x)=x+b$
   $g(-2)=-2+b=-0,5\Rightarrow b=1,5$
   Die Gerade g hat die Gleichung $g(x)=x+1,5$
4. Steigung der Geraden h: $m_h=-\frac{1}{1}=-1$
   Zwischenlösung: $h(x)=-x+b$
   $P(-2|-0,5)$ einsetzen:
   $-0,5=-1\cdot (-2)+b$ $\Rightarrow b=-2,5$
   Ergebnis: $h(x)=-x-2,5$

3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt

Die Punkte $P(-4|y_P)$ und $Q(x_Q|0,5)$ liegen beide auf der Geraden $f(x)=-0,75x+2$.

1. Bestimme die fehlenden Koordinaten $y_P$ und $x_Q$ der Punkte.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.

zu 1.

Berechnung von $y_P$:
$f(x)=-0,75x+2$
$f(-4)=-0,75\cdot (-4)+2=5$
Ergebnis: $y_P=5$

Berechnung von $x_Q$:
$f(x)=-0,75x+2$
   $0,5=-0,75x+2$     | $-2$
$\Rightarrow -1,5=-0,75x$     | geteilt durch (-0,75)
$\Rightarrow x=2$
Ergebnis: $x_Q=2$

zu 2.

$m_f=-0,75=-\frac{3}{4}$
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: $m_h=-\frac{1}{m_f}$    (Kehrwert von $m_f$ bilden und Vorzeichen umdrehen)
$m_h=\frac{4}{3}$
Zwischenergebnis: $h(x)=\frac{4}{3}+b$    | Koordinaten von $P(-4|5)$ einsetzen:
   $5=\frac{4}{3}\cdot (-4)+b$
$\Rightarrow \frac{15}{3}=-\frac{16}{3}+b$     | $+\frac{16}{3}$
$\Rightarrow \frac{21}{3}=b$
$\Rightarrow b=7$
Ergebnis: $h(x)=\frac{4}{3}x+7$

4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt $P(2|3)$ geht.

zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht:
$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$

$y_P=3$ und $y_Q=5$   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }y=y_Q-y_P=5-3=2$

$x_P=2$ und $x_Q=3$   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }x=x_Q-x_P=3-2=1$

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2}{1}=2$

Zwischenergebnis: $f(x)=2x+b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

    $f(2)=2\cdot 2+b$
$\iff 3=4+b$
$\iff b=-1$

Ergebnis: $f(x)=2x-1$

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: $(0|-1)$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): $f(x)=2x-1$
   $0=2x-1$     | $+1$
$\iff 1=2x$     | $/2$
$\iff x=0,5$     (Nullstelle)
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(0,5|0)$

zu 3.

Ansatz: $h(x)=-\frac{1}{2}x+b$

Koordinaten von $P(2|3)$ einsetzen:

$3=-\frac{1}{2}\cdot 2+b$     | $+1$
$3=-1+b$     | $+1$
$b=4$
Ergebnis: $h(x)=-0,5x+4$

5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(1|-5)$ geht und berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$m=\frac{-5-3}{1-(-3)}=\frac{-8}{4}=-2$

Zwischenlösung: $f(x)=-2x+b$

Beispielsweise $P(-3|3)$ einsetzen:

    $f(-3)=-2\cdot (-3)+b$
$\Rightarrow 3=6+b$
$\Rightarrow b=-3$

Ergebnis: $f(x)=-2x-3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-3)$
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$f(x)=-2x-3$
$0=-2x-3$
$\Rightarrow 3=-2x$
$\Rightarrow x=-1,5$
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(-1,5|0)$.

Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x)=mx+b$

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x)=mx+b$ durch die Punkte $P$ und $Q$