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Benutzer:KaJa123/ Nullstellen und Schnittpunkte linearer Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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KaJa123 (Diskussion | Beiträge)
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Rot: <math>g(x)=2x+4 \Longrightarrow x=-2</math>
Rot: <math>g(x)=2x+4 \Longrightarrow x=-2</math>
  Grün: <math>h(x)=-\frac{1}{2}x+6 \Longrightarrow x=12</math>}}
  Grün: <math>h(x)=-\frac{1}{2}x+6 \Longrightarrow x=12</math>}}




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<math>f(x) = 2x - 8</math>
<math>f(x) = 2x - 8</math>


{{Lösung versteckt|1=Blau: === Lösung zu Aufgabe 1 ===
{{Lösung versteckt|
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
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<math>f(x) = -3x + 6</math>
<math>f(x) = -3x + 6</math>


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{{Lösung versteckt|
 
=== Aufgabe 3 ===
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 - 9</math>
 
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=== Aufgabe 4 ===
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 + 4x</math>
 
----
 
=== Aufgabe 5 ===
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 - 5x + 6</math>
 
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=== Lösung zu Aufgabe 1 ===
<math>
\begin{aligned}
2x - 8 &= 0 \\
2x &= 8 \\
x &= 4
\end{aligned}
</math>
 
**Nullstelle: <math>x = 4</math>
 
----
 
=== Lösung zu Aufgabe 2 ===
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
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</math>
</math>


**Nullstelle: <math>x = 2</math>
**Nullstelle: <math>x = 2</math>}}
 


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=== Aufgabe 3 ===
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 - 9</math>


=== Lösung zu Aufgabe 3 ===
{{Lösung versteckt|<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
x^2 - 9 &= 0 \\
x^2 - 9 &= 0 \\
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**Nullstellen: <math>x = -3</math> und <math>x = 3</math>
**Nullstellen: <math>x = -3</math> und <math>x = 3</math>
}}


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=== Lösung zu Aufgabe 4 ===
=== Aufgabe 4 ===
<math>
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 + 4x</math>
 
{{Lösung versteckt|<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
x^2 + 4x &= 0 \\
x^2 + 4x &= 0 \\
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**Nullstellen: <math>x = 0</math> und <math>x = -4</math>
**Nullstellen: <math>x = 0</math> und <math>x = -4</math>
}}


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=== Lösung zu Aufgabe 5 ===
=== Aufgabe 5 ===
<math>
Bestimme die Nullstellen der Funktion 
<math>f(x) = x^2 - 5x + 6</math>
 
{{Lösung versteckt|<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
x^2 - 5x + 6 &= 0 \\
x^2 - 5x + 6 &= 0 \\
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**Nullstellen: <math>x = 2</math> und <math>x = 3</math>
**Nullstellen: <math>x = 2</math> und <math>x = 3</math>
}}
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Version vom 15. Dezember 2025, 07:39 Uhr

Unsere Überlegungen:

Thema und inhaltliche Eingrenzung

Nullstellen und Schnittpunkte linearer Funktionen

Allgemeine mathematische Kompetenzen: Modellieren

Stufe des Begriffsverständnisses: Stufe 2-3

Umgang mit Differenzierung: offene Differenzierung

Nullstellen und Schnittpunkte linearer Funktionen

Herzlich Willkommen zu unserem Lernpfad
Dieser Lernpfad wird euch lehren wie ihr Nullstellen und Schnittpunkte von linearen Funktionen bestimmen könnt.

Um dein Vorwissen zu aktivieren, starten wir mit einen Quiz zu linearen Funktionen!

Lernpfad: Nullstellen einer Funktion

🎯 Lernziele

  • Du verstehst, was Nullstellen sind und wie man sie interpretieren kann.
  • Du kannst Nullstellen grafisch und algebraisch bestimmen.
  • Du kannst digitale Werkzeuge wie GeoGebra einsetzen.
  • Du kannst Nullstellen in realen Kontexten deuten.

1️⃣ Einstieg

Impuls

Wann ist es wichtig zu wissen, wann eine Funktion den Wert 0 hat?

  • Wurf: Wann trifft der Ball den Boden?
  • Gewinn: Wann ist der Gewinn null?
  • Gerade: Wo schneidet die Funktion die x-Achse?

Merksatz

Definition Nullstelle: "Die Nullstelle ist der x-Wert, bei dem y=0 ist." Also f(x)=0.

Grafisch bedeutet das: Der Graph schneidet die x-Achse.

Erklär-Video Nullstellen linearer Funktionen

Falls du es noch nicht ganz verstanden hast, kannst du dir das Erklär-Video anschauen!

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Mini-Check

Aufgabe
Bestimme die Nullstellen in den drei abgebildeten Graphen.


Blau: f(x)=12x−2⟹x=4

Rot: g(x)=2x+4⟹x=−2

Grün: h(x)=−12x+6⟹x=12


Rechnerische Übungen: Nullstellen bestimmen

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen rechnerisch. Notiere jeweils deinen Rechenweg.

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x)=2x−8

2x−8=02x=8x=4

    • Nullstelle: x=4

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x)=−3x+6

−3x+6=0−3x=−6x=2

    • Nullstelle: x=2


Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=x2−9

x2−9=0x2=9x1=3,x2=−3

    • Nullstellen: x=−3 und x=3

Aufgabe 4

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=x2+4x

x2+4x=0x(x+4)=0

    • Nullstellen: x=0 und x=−4

Aufgabe 5

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=x2−5x+6

x2−5x+6=0(x−2)(x−3)=0

    • Nullstellen: x=2 und x=3


Schnittpunkte

Im folgenden Abschnitt wirst du dich näher mit Schnittpunkten zweier linearer Funktionen beschäftigen. Zu jeder Aufgabe werden Hilfestellungen gegeben, falls du mal selbst nicht auf einen Rechenweg kommen solltest. Notiere deine Rechnung, falls nicht anders angegeben, immer in deinem Heft.

Einstiegsaufgabe

Frau Müller möchte einen neuen Streaming-Vertrag abschließen. Sie vergleicht dazu unterschiedliche Anbieter und stoßt auf folgende Angebote:

  • Streaming-Anbieter A: 10€ einmalige Startgebühr, 8€ monatliche Gebühr
  • Streaming-Anbieter B: keine Startgebühr, 10€ monatliche Gebühr
Ab dem welchen Monat lohnt sich welcher Streaming-Anbieter langfristig mehr?
  1. Erstelle eine Tabelle, die die Entwicklung der Gebühren darstellt.
  2. Stelle die Entwicklung der Gebühren mit Hilfe deiner Tabelle graphisch dar.
  3. Was ist an den Graphen abzulesen? Wie könntest du die Entwicklung formal ausdrücken?
  3. Die Graphen schneiden sich im Punkt (5|50). Im Sachkontext bedeutet es, dass Streaming-Anbieter A nach fünf Monaten langfristig günstiger ist.
Die Entwicklung kann formal mit den Funktionen A(x)=8x+10 und B(x)=10x ausgedrückt werden.

Informationen und Hilfestellungen

Betrachtet man zwei lineare Funktionen f(x) und g(x), können diese drei Beziehungen beobachtet werden:

1. f(x) und g(x) sind identisch ⇒ für alle x ist f(x)=g(x)

2. f(x) und g(x) schneiden sich in einem Punkt ⇒ für ein x ist f(x)=g(x)

3. f(x) und g(x) sind parallel ⇒ für kein x ist f(x)=g(x)

→ In unserem Fall interessiert uns am meisten der 2. Fall. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann nennen wir den Schnittpunkt SP(x|y). An diesem Punkt sind die Werte von f(x) gleich zu denen von g(x) (→f(x)=g(x))

Falls du es noch nicht ganz verstanden hast, kannst du dir das Erklär-Video anschauen!

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Shuttle-Service

Sophie und Michel möchten im Frühjahr heiraten. Um ihren Gästen eine unkomplizierte Heimfahrt zu ermöglichen, möchten sie ein Taxi-Unternehmen buchen, welches einen Shuttle-Service anbietet. Das Taxi-Unternehmen bietet zwei Optionen an:

  • Tarif A: 100€ Pauschaule + 1,50€ pro km
  • Tarif B: keine Grundgebühr, aber 3,50€ pro km
Wann lohnt sich welcher Tarif besser?
  1. Erstelle eine Tabelle, die die Entwicklung der Gebühren darstellt.
  2. Stelle die Entwicklung der Gebühren mit Hilfe deiner Tabelle graphisch dar.
  3. Was ist an den Graphen abzulesen? Wie könntest du die Entwicklung formal ausdrücken?
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