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Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

In diesem Lernpfad wirst du lineare Funktionen nicht nur berechnen, sondern als Werkzeuge nutzen, um die Realität zu beschreiben (Modellieren).

Deine Ziele (Kompetenzen):

• 🎯 Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
• 📈 Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
• 🛠️ Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)

Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

Aufgabe 1: Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten $y$ in Abhängigkeit von den Minuten $x$.

1. Ergänze die Wertetabelle im Heft.
2. Stelle die Funktionsgleichung auf.

0!!10!!20!!$x$
?	?	?	?

💡 Tipp 1: Der Startwert

Wenn du 0 Minuten telefonierst ($x=0$), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).

💡 Tipp 2: Die Änderung

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung $m$.

✅ Lösung

• Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
• Gleichung: $f(x)=0,15\cdot x+10$

Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und n

Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).

Wir betrachten die allgemeine Form $f(x)=m\cdot x+n$ nun als ein Objekt, das wir verändern können.

Merke:

• • • $n$ (y-Achsenabschnitt):** Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach **oben** oder **unten**. Der "Startwert".
    • $m$ (Steigung):** Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie **steil** die Gerade ist und ob sie steigt ($+$) oder fällt ($-$).

Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. $y$ ist die Höhe in cm, $x$ die Zeit in Stunden.

• A: $f(x)=-2x+15$
• B: $f(x)=-4x+20$
• C: $f(x)=-1x+15$

Ordne zu und begründe mathematisch:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. • • Kerze B** war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt $n=20$ ist der größte Startwert.
     • Kerze B** brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung $|-4|$ ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
     • Kerze A und C** waren gleich hoch, da beide $n=15$ haben.

Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen

Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte. Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.

• Nach **2 Minuten** ist es auf **4000 m** Höhe.
• Nach **5 Minuten** ist es auf **2500 m** Höhe.

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t)=m\cdot t+n$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte $P_1(2|4000)$ und $P_2(5|2500)$: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Berechne $m$ zuerst.

Schritt 2: n bestimmen

Setze dein berechnetes $m$ und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung $y=m\cdot x+n$ ein. Löse dann nach $n$ auf.

✅ Lösung

1. $m=\frac{2500-4000}{5-2}=\frac{-1500}{3}=-500$ (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
2. Einsetzen: $4000=-500\cdot 2+n$
3. $4000=-1000+n|+1000$
4. $5000=n$
   • • Ergebnis:** $h(t)=-500t+5000$

Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)

Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:

• • • Tarif A:** $f(x)=0,15x+10$
    • Tarif B:** Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. $g(x)=0,25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B? Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).

💡 Tipp: Der Ansatz

Wir suchen das $x$, für das die Kosten gleich sind. Ansatz: Gleichsetzen

$f(x)=g(x)$

✅ Lösung

Gleichsetzen:

$0,15x+10=0,25x|-0,15x$

$10=0,10x|:0,10$

$100=x$

• • Antwort:** Bei genau **100 Minuten** kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer **mehr** als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).

Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen

Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2x-3$.

Aufgabe 5: Gib eine Funktionsgleichung $g(x)$ an, deren Graph...

1. ... **parallel** zu $f(x)$ verläuft, aber durch den Punkt $P(0|5)$ geht.
2. ... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie $f(x)$, aber **fällt** statt steigt.

✅ Lösung

1. • • Parallel** bedeutet: Die Steigung $m$ muss gleich sein. Punkt $(0|5)$ bedeutet $n=5$.

   $g(x)=2x+5$

   • • Gleicher Abschnitt** bedeutet $n=-3$. **Fallen** bedeutet $m$ muss negativ sein (Zahl beliebig, z.B. -1).

   $g(x)=-1x-3$ (Beispiel)

Abschluss: Kannst du das Modellieren?

Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:

• Kannst du aus einem Text $m$ und $n$ herauslesen?
• Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?

[Hier optional: Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P]