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| {{Lösung versteckt|Auch die Gleichung von 4) ist eine lineare Funktion. Es ist völlig gleich, ob da "y = x + 3" oder "x + 3 = y" steht. Es ist als Beispiel auch mathematisch gleich, ob da "x = 4" oder "4 = x" steht.}} | | {{Lösung versteckt|Auch die Gleichung von 4) ist eine lineare Funktion. Es ist mathematisch völlig egal, ob man die Seiten einer Gleichung tauscht oder nicht.}} |
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| 5) y = -5x<sup>2</sup> - 9 | | 5) y = -5x<sup>2</sup> - 9 |
Willkommen zum Lernpfad "Wiederholung lineare Funktionen"
Dieser Lernpfad ist für 4 Unterrichtsstunden konzipiert und dient dazu das Thema "lineare Funktionen" für den Einstieg in die Analysis der gymnasialen Oberstufe zu wiederholen. Er ist so gedacht, dass Sie sich durch die Themen systematisch durcharbeiten und je nach Wiederholungsbedarf diese Themen erneut aufarbeiten.
Intendiertes Ziel des Lernpfades ist es, den Umgang mit symbolisch-technischen Elementen der Mathematik im Bereich der Analysis zu verbessern.
Begriff der linearen Funktion
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Eigenschaften einer linearen Funktion geklärt und die Parameter der Funktionsgleichung definiert.
Funktionsgleichung
Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Eine lineare Funktion besitzt eine Gleichung der Form y = m*x + b.
Aufgabe:
Entscheide, welche der folgenden Funktionsgleichung eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist.
1) y = 3x + 4
Schaue dir die allgemeine Form an und versuche die Parameter m und b in der Funktionsgleichung von 1) zu identifizieren.
Die Funktionsgleichung ist eine lineare Funktion. Der Parameter m ist hier 3 und b ist 4. Die Funktionsgleichung besitzt also die Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
2) y = (7/2)x - 9/5
Dich verunsichern die Brüche? Brüche sind ebenfalls "nur" Zahlen. Kannst du die Brüche als Dezimalbruch (Kommazahl) darstellen und sie dann mit den Parametern m und b identifizieren?
Die Funktionsgleichung ist eine lineare Funktion. Der Parameter m ist hier 7/2 und b ist -9/5. Die Funktionsgleichung besitzt also die Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
3) y2 = 20x + 4
Betrachte beide "Seiten" der Funktionsgleichung und vergleiche genauer y, m, x und b mit der allgemeinen Funktionsgleichung.
Diese Funktionsgleichung ist keine lineare Funktion! Bei dem y ist ein Exponent, welcher ungleich 1 ist (nämlich hier 2). Würde man die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, steht links zwar dann y, allerdings würde die rechte Seite die Wurzel aus x abbilden. Die Funktionsgleichung gehört dann also zu einer Wurzelfunktion!
4) x + 3 = y
Überlege, ob man die beiden Seiten einer Gleichung tauschen darf.
Auch die Gleichung von 4) ist eine lineare Funktion. Es ist mathematisch völlig egal, ob man die Seiten einer Gleichung tauscht oder nicht.
5) y = -5x2 - 9
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
6) y = x
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
7) y = -3
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
Hier werden dir dann Tipps zu den Aufgaben angezeigt.
Bedeutung der Parameter m und b
Darstellungsformen
Wertetabelle
Graphische Darstellung im kartesischen Koordinatensystem
Ablesen von Steigung und y-Achsenabschnitt
Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsgleichung
Berechnungen an linearen Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten (Zwei-Punkte-Form)
Bestimmung der Funktionsgleichung aus einem Punkt und der Steigung (Punkt-Steigungs-Form)
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Beziehung zwischen Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden
parallele Geraden
senkrechte/orthogonale Geraden
Identische Geraden
Anwendungs- und Sachaufgaben
Ausblick auf die Oberstufe
