Integralrechnung/Hauptsatz

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.

Zusammenfassung

• Das bestimmte Integral der Funktion $ f(x) $ ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von $ f(x) $ und der x-Achse in den angegebenen Grenzen $ a $ und $ b $.
• Die "Flächeninhaltsfunktion" $ F(x) $ beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) und der x-Achse.
• Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a) .

• Die "Flächeninhaltsfunktion" wird Stammfunktion genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F \ '(x) = f(x)

• Integrieren oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des unbestimmten Integrals bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)

• Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(x) eine Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) ist, dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(x) + c mit $ c\in \mathbb {R} $ ebenfalls eine Stammfunktion von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) .

Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

a)   Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 \in [a;b] :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(x) = \int \limits_{x_0}^x f(t) \ \mathrm{d}t

Dabei ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(x) eine Stammfunktion zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) und es gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F \ '(x) = f(x) .

b)   Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x) eine stetige reellwertige Funktion mit Stammfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(x) . Dann gilt:

$ \int \limits _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a) $

Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch Fundamentalsatz der Analysis genannt) steht unter dem Integral das Differential dFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t und der Integrand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(t) . Dies hat folgenden Grund:
Die obere Grenze des Integrals ist die Variable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x . Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b gegeben während die Integrationsvariable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x ist. Zwar durchläuft Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x das ganze Intervall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a;b] , jedoch sind seine Werte doch i.A. von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich!
Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion $ f $:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots

Beweis des Hauptsatzes

Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen Beweis mit Geogebra .

Integrationsregeln