Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|11| | {{Aufgaben-M|11| | ||
Formuliere eine Hypothese aufgrund Deines bisherigen Wissens über Stammfunktionen und Integrale zu folgenden Punkten: | Formuliere eine Hypothese aufgrund Deines bisherigen Wissens über Stammfunktionen und Integrale zu folgenden Punkten: | ||
# Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also z.B. für <math>\ | # Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also z.B. für <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math>? | ||
# Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\ | # Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math>? | ||
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{{Aufgaben-M|12| | {{Aufgaben-M|12| | ||
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\ | Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra, indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst. | ||
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Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br> | Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br> | ||
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\ | \int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x | ||
</math>. <br> | </math>. <br> | ||
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert. | Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert. | ||
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{{Aufgaben-M|14| | {{Aufgaben-M|14| | ||
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \ | Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra, indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist. | ||
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Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br> | Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br> | ||
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\ | \int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x | ||
</math>. <br> | </math>. <br> | ||
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion. | Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion. | ||
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{{Aufgaben-M|15| | |||
Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14! | |||
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge! | |||
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte! | |||
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{{Kastendesign1| | {{Kastendesign1| | ||
Version vom 15. November 2009, 19:29 Uhr
Integrationsregeln
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Vorlage:Aufgaben-M
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