Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Die Datei W2_xm1n.ggb wurde nicht gefunden.

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n}$ für $a\ne 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac{1}{n}}$$=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}}.$

Vorlage:Arbeiten

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $g$ eine Potenzfunktion, definiert durch $g(x)=x^{\frac{1}{3}}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $g^{-1}=:f$ von $g$. $g^{-1}$ ergibt sich aus $g$ durch Auflösen nach $x$. Es ist: $\begin{array}{ccccccc}y& =& x^{\frac{1}{3}},& & & |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{\frac{3}{3}}& & & & \\ & =& x.& & & & \end{array}$ Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt schließlich die gesuchte Funktion: $f(x)=x^3$.

Die Datei w_x3_001.ggb wurde nicht gefunden.

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$. Auflösen nach $x$ ergibt: $\begin{array}{ccccc}y& =& x^{-\frac{1}{3}}.& |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{-\frac{3}{3}},& & \\ & =& x^{-1},& & \\ & =& \frac{1}{x}.& |& \cdot x\\ x\cdot y^3& =& 1.& |& :y^3\\ x& =& \frac{1}{y^3}& & \\ & =& y^{-3}.& & \end{array}$

Die Datei W_x3m_001.ggb wurde nicht gefunden.

Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ für $n\ge 2$ sind Potenzfunktionen mit $f(x)=x^n.$

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{-\frac{1}{n}}$ für $n\ge 2$ sind Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)

Die Datei 10_axminuas1nc.ggb wurde nicht gefunden.

*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)

Die Datei rosette.ggb wurde nicht gefunden. Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form $f(x)=a\cdot x^q$ mit $a\in \mathbb{ℝ},q\in \mathbb{\mathbb{N}}\cup \{\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{5},\pm \frac{1}{6},\dots \}$ zusammengesetzt. Vorlage:Arbeiten

Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind. Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?

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Und nun gehts zum Abschlusstest Datei:Pfeil.gif   Hier geht es weiter.