Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $-\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\le -\frac{1}{n}<0$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Die Datei W2_xm1n.ggb wurde nicht gefunden.

Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n}$ für $a\ne 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac{1}{n}}$$=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}}.$

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, definiert durch $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!).

$f^{-1}$ ergibt sich aus $f$ durch Auflösen nach $x$. Es ist:
$\begin{array}{ccccccc}y& =& x^{\frac{1}{3}},& & & |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{\frac{3}{3}}& & & & \\ & =& x.& & & & \end{array}$

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ mit Definitionsbereich ID = IR⁺. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Auflösen nach $x$ ergibt:
$\begin{array}{ccccc}y& =& x^{-\frac{1}{3}}.& |& ({)}^3\\ y^3& =& x^{-\frac{3}{3}},& & \\ & =& x^{-1},& & \\ & =& \frac{1}{x}.& |& \cdot x\\ x\cdot y^3& =& 1.& |& :y3\\ x& =& \frac{1}{y^3}& & \\ & =& y^{-3}.& & \end{array}$

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

Die Datei 10_axminuas1nc.ggb wurde nicht gefunden.

test zone

$\begin{array}{ccc}f(n+1)& =& (n+1{)}^2\\ & =& n^2+2n+1\end{array}$