Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Es sei stets ${\mathbb{\mathbb{N}}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ und $\mathbb{\mathbb{N}}=\{1,2,3,\dots \}$, insbesondere also ${\mathbb{\mathbb{N}}}_0\ne \mathbb{\mathbb{N}}$.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: $0<\frac{1}{n}\le 1$.

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Funktionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ , $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

Wegen $x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$ nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR⁺₀

Im Falle $n=2$ nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x}=:\sqrt{x}$

Im Falle $n=3$ nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$.

Beispiel: Quadratwurzeln

Datei:Diagonale.png

Datei:Diagonale3.png

Beispielsweise ergibt sich die Länge $d$ der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge $a=1$ über den Satz des Pythagoras ($a^2+a^2=d^2$) zu:

$a^2+a^2=2\cdot a^2=2\cdot 1^2=2=d^2\Rightarrow d=\pm \sqrt{2}=\pm 2^{\frac{1}{2}}.$

Die Lösung ist $d=-\sqrt{2}$ ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

Auch die Länge der Raumdiagonale $D$ im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $d^2+s^2=D^2$) zu:

${\sqrt{2}}^2+1^2=2+1=3=D^2\Rightarrow D=\pm \sqrt{3}=\pm 3^{\frac{1}{2}}.$

Die Lösung ist also $D=\sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen $V$ eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge $s=5$ ergibt sich über:

$V=s^3=5\cdot 5\cdot 5=5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen $V=27$ durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[3]{3^3}={\sqrt[3]{3}}^3=3.$

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR⁺₀

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: $\sqrt[3]{-8}=-2,$

Wegen

$(-2{)}^3=-8$

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

$-2=\sqrt[3]{-8}=(-8{)}^{\frac{1}{3}}=(-8{)}^{\frac{2}{6}}={((-8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}={((8{)}^2)}^{\frac{1}{6}}=(8{)}^{\frac{2}{6}}=(8{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

$f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ und $\mathbb{𝔻}={\mathbb{ℝ}}_0^{+}$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

$g(x):=\{\begin{array}{ll}\sqrt[n]{x},& x\ge 0\\ -\sqrt[n]{-x},& x<0\end{array}$.

Dann gilt: ID_g = IR.