Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ als Exponenten haben.

Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2

Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche unterschiede? Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?

Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.

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Potenzen und Wurzeln

Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ und Wurzelfunktionen $g(x)=\sqrt[n]{x}$ hängen eng zusammen, denn es gilt:

$x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

$\sqrt[n]{x}:\iff {\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$

Beispiele:

• $16=\{\begin{array}{ll}4\cdot 4& =4^2\\ -4\cdot (-4)& =(-4{)}^2\end{array}\Rightarrow \sqrt{16}=\pm 4$, aber
• $-16=\{\begin{array}{ll}(-1)\cdot 4\cdot 4& =(-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4)\cdot (-4)& =(-1)\cdot (-4{)}^2\end{array}\Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot \sqrt{-1}$, nicht definiert!

• $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[3]{3^3}={\sqrt[3]{3}}^3=3$, aber auch
• $\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3\cdot -3}=\sqrt[3]{-3^3}={\sqrt[3]{-3}}^3=-3.$

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