Lernpfad Lineare Funktionen/LF04 Aufgaben

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LF04 Abbildung 1

1. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF04 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Gerade $f$ (durchgezogene Linie)

In der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ müssen der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ bestimmt werden.
y-Achsenabschnitt $b$: Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ $\Rightarrow b=-1$
Steigungsfaktor $m$: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_y(0|-1)$ aus 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben gehen, um wieder auf die Gerade $f$ zu stoßen. $m=\frac{2}{3}$
Ergebnis: $f(x)=\frac{2}{3}x-1$

Gerade $g$ (gestrichelte Linie)

schneidet die y-Achse im Punkt $(0|2)$ $\Rightarrow b=2$
Steigungsfaktor $m$: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_y(0|2)$ aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten gehen, um wieder auf die Gerade $g$ zu stoßen. Daher ist $m=-\frac{1}{3}$
Ergebnis: $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$

Gerade $h$ (gepunktete Linie)

schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0|3)$ und verläuft parallel zur x-Achse, besitzt also den Steigungsfaktor 0.
Ergebnis: $h(x)=0\cdot x+3$.
Ergebnis: $h(x)=3$

Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein rechnerisch und ohne die Abbildung LF04 Abbildung 1 zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade $f(x)=\frac{2}{3}x-1$ und die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(6|3)$. Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Falls er nicht auf der Geraden f liegt, überprüfe, ob er oberhalb oder unterhalb davon liegt.

Punktprobe für Punkt $P(-1|4)$:

$f(-1)=-0,5\cdot (-1)+1=1,5$ Der Punkt $P(-1|4)$ liegt 2,5 Einheiten oberhalb der Geraden $f$.

Punktprobe für Punkt $Q(-4,5|-3)$:

$f(-4,5)=-0,5\cdot (-4,5)+1=3,25$ Der Punkt $Q(-4,5|-3)$ liegt 6,25 Einheiten unterhalb der Geraden $f$.

3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Der Punkt $R(6|?)$ liegt auf der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$. Bestimme die y-Koordinate von R.

x-Koordinate von R in f einsetzen: $-\frac{1}{2}\cdot 6+1$ $=-3+1=-2$
Ergebnis: y-Koordinate von $R$ hat den Wert   $-2$.

4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $g$, die zu der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ parallel verläuft und durch den Punkt $P(-1|4)$ geht.

In der Gleichung $g(x)=mx+b$ sind der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.
Wegen der Parallelität zu $f$ besitzt $g$ den gleichen Steigungsfaktor, also $m=-\frac{1}{2}$
Zwischenergebnis: $g(x)=-\frac{1}{2}x+b$
Um den y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes $P(-1|4)$ in diese Gleichung einsetzen:
    $g(-1)=-\frac{1}{2}\cdot (-1)+b$
$\Rightarrow 4=0,5+b$
$\Rightarrow 3,5=b$
Ergebnis: $g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$

5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$, $g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$ und $h(x)=2x+6$ mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit der y-Achse

Alle Punkte auf der y-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre x-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung $x=0$ setzen.

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$
$f(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0+1$
$f(0)=1$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|1)$.

$g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$
$g(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0+3,5$
$g(0)=3,5$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|3,5)$.

$h(x)=2x+6$
$h(0)=2\cdot 0+6$
$h(0)=6$
Ergebnis: Die Gerade $h$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|6)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Alle Punkte auf der x-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung $f(x)=0$ setzen.

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$
$0=-\frac{1}{2}\cdot x+1$
$-1=-\frac{1}{2}\cdot x$
$2=x$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die x-Achse im Punkt $(2|0)$.

$g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$
$0=-\frac{1}{2}\cdot x+3,5$
$-3,5=-\frac{1}{2}\cdot x$
$7=x$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die x-Achse im Punkt $(7|0)$.

$h(x)=2x+6$
$0=2x+6$
$-6=2x$
$-3=x$
Ergebnis: Die Gerade $h$ scheidet die x-Achse im Punkt $(-3|0)$.

6. Aufgabe - Gerade durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(-4,5|-3)$ geht.

Die Formel für den Steigungsfaktor $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$ gilt unabhängig davon, ob der Punkt $Q$ im Koordinatensystem links oder rechts von $P$ liegt.

$m=\frac{-3-4}{-4,5-(-1)}=\frac{-7}{-3,5}=2$

Zwischenlösung: $h(x)=2x+b$

Beispielsweise $Q(-4,5|-3)$ einsetzen ($P$ ginge ebenso):

$h(-4,5)=2\cdot (-4,5)+b$
$\Rightarrow -3=-9+b$
$\Rightarrow b=6$

Ergebnis: $h(x)=2x+6$

7. Aufgabe - Gleichung einer Senkrechten zu gegebener Gerade

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $h$, die durch den Punkt $P(-1|4)$ geht und senkrecht zu der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ verläuft.

Für die Steigung $m_h$ einer zur Geraden $f$ senkrecht verlaufenden Geraden mit der Steiung $m_f$ gilt die Formel: $m_h=-\frac{1}{m_f}$.

$m_h=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Zwischenlösung: $h(x)=2x+b$

Koordinaten des gegebenen Punktes $P(-1|4)$ einsetzen:

$h(-1)=2\cdot (-1)+b$
$\Rightarrow 4=-2+b$
$\Rightarrow b=6$

Ergebnis: $h(x)=2x+6$

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